1、例 1：已知关于 x 的二次函数 y=x 2 2mx+m 2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A （ x1 ， y1）、 B （ x2， y2）；（ x1 x2）（ 1）当 k=1， m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1 ，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想（ 3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想AOB 的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式）解：（ 1）当 k=1， m=0 时，如图由得 x2 x1=0， x1+x2=1， x1?x 2=1，过点 A、 B 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，两线交于点C直线AB的解析式为y=
2、x+1 ， BAC=45， ABC是等腰直角三角形， AB=AC=|x 2 x1|=；同理，当 k=1， m=1时， AB=；（ 2）猜想：当k=1， m为任何值时， AB的长不变，即AB=理由如下：由22，得 x （ 2m+1） x+m+m 1=0，1212221=； x +x =2m+1， x?x =m+m 1， AB= AC=|x x |=（ 3）当 m=0， k 为任意常数时，AOB为直角三角形，理由如下：当 k=0 时，则函数的图象为直线y=1，由，得 A（ 1， 1）， B（ 1， 1），显然 AOB为直角三角形；当 k=1 时，则一次函数为直线y=x+1，供参考由，得 x2 x
3、1=0， x1+x2=1， x1?x2=1， AB=AC=|x 2 x1|=2=， AB=10，22222222222222222222 OA+OB=x +y+x +y=x +x+y +y=x+x+（ x +1）+（ x +1）=x+x+（ x+2x1+1） +（x+2x +1）=2（ x+x）1122121212121212212+2（ x1+x2222）+2=2（ 1+2）+21+2=10， AB =OA+OB， AOB是直角三角形；当 k 为任意实数，AOB仍为直角三角形由212122122122122122=，得 x kx 1=0， x +x=k， x ?x = 1， AB=（ x x
4、 ） +（ y y ） =（ x x ） +（ kx kx ）（ 1+k2）（ x1 x2） 2=（1+k2） （x1+x2） 2 4x1?x2= （1+k2）（ 4+k2） =k 4+5k2+4，222222222222222222+2kx22+2kx2 OA+OB=x1+y1+x2+y2=x1+x2+y1 +y2=x1+x2+（ kx 1+1）+（ kx 2+1）=x1+x2 +（ kx11+1）+（kx22+1）=（ 1+k ）22） +2=（ 1+k22+2）+2k?k+2=k4+5k2+4，（ x+x） +2k（ x +x）（ k1212222 AB=OA+OB， AOB为直角三角形
5、如图，已知抛物线 y=x2-4x+3 ，过点 D(0， - 5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点，且2E点 M 、 N 与 X 轴交于 E 点，且 M 、N 关于点 E 对称，求直线 MN 的解析式。解： D(0,- 5 )2设直线 MN的解析式为 y=kx-5242 ykx52ENyx24x 3O5 kx-5= x 2-4x+32M2D x2-(4+k)x+ 11 =02bx1 + x2 =-=4+k ym +yn =0=k(4+k)供参考 k=1 或-5( 舍 )直线 MN的解析式为 y=x- 521、如图，抛物线y=x22x 3 与坐标轴交于A、B、三点，直线y=kx-1 与抛物
6、线交于P、 Q两点，且 y 轴平分 PCQ的面积，求 k 的值。（答案： k=-2 ）已知：二次函数yx 2(m 1) x m 的图象交x 轴于 (,0)、 B(x2,0) 两点，交y 轴正半轴于点C，且A x1x12x2210 。（ 1）求此二次函数的解析式；（ 2）是否存在过点D(0， 5)的直线与抛物线交于点M、 N，与 x 轴交于点 E，使得点 M、 N 关于点 E 对称？若2存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。例 2、已知抛物线y=0.25x 2 2x 5 与 x 轴交 A 、B 两点，与y 轴交于点 C，将直线m:y=0.75x-9 向上平移，交抛物线于 M 、 N。
7、 MN 交 y 轴正半轴于点T ， SMCT-SCNT=44，求直线m的解析式。供参考如图，抛物线2，过 Q（ 0， 3）作直线 l 交抛物线于 E、 F，点 Q 关于原点的对称点为PEF时，求y=xP，当 S=12E、 F 点的坐标。如图，抛物线y= x2+4x 3 与 x 轴交 A 、B 两点（ A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 M ，将抛物线沿射线OM 的方向平移，平移后的抛物线交x 轴于点 A1 ， B1 ，若 2 A1B1 4，求 M移动的最大距离 .如图，抛物线 y= x2+3x+6 交 y 轴于点 A，点 C(4 ，k) 在抛物线上，将抛物线向右平移
8、 n 个单位长度后与直线 AC 交于 M、 N 两点，且 M、N 关于点 C 成中心对称，求 n 的值。解：点A、 C在抛物线y=-x 2+3x+6 上A(0,6) C(4,2) AC:y=-x+6抛物线y=-x 2+3x+6 的顶点 G(1.5,8.25)抛物线向右平移n 个单位后， G点对应点G坐标为 (1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为y=-x-(1.5+n)2+8.25y(x1.5 n) 28.252+3n=0 X M X N =4+2n联立：x6 x2-(4+2n)x+ny点 M、 N 关于 C 点中心对称 4 2n = xC=2 n=22、如图，已知抛物线 y=-x 2+2
9、x+3 与坐标轴交于 A、B、C 三点，点 D、 C 关于原点对称，点 M、 N 是抛物线上两点，且四边形 CMDN为平行四边形，求点 M、 N的坐标。解：点 A、B、C 在抛物线 y=-x 2+2x+3 上 C(0,3) (-1,0) B(3,0)点 D、C 关于原点对称D( , )四边形 CMDA是平行四边形 CNMD且 CN =MD设 N(m,n)MN关于原点对称 M(-m,-n)供参考 M、 N 在抛物线 y=-x 2+2x+3 上m22m3nm22m3n m1 = 3m2 =- 3 ( 舍 ) n=23 N(3 ，23 )M(-3 ， -23 )例 3、如图，抛物线y=（ x 1）
10、2 13/4 的顶点为 A，与 y 轴的负半轴交于B 点，将抛物线向下平移与直线AB相交 C、 D两点，若 BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式 .1、 抛物线 y= x2/3+x/3,将直线 y=0.5x 向下平移n 个单位长度，与抛物线交于E、F 两点，若 EOF=90，求 n的值2、如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A 、B 两点（ A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点 C， P 点为 BC 上的一个动点，过 P 作 BC 的垂线交抛物线于 M 、 N 两点，若四边形 BMCN 的面积为 12，求直线 MN 的解析式。如图，已知抛物线与x 轴交于 A(-1 ，
11、 0) 、 B(3 ， 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0， 3) 。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得 PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标 ; 若不存在，请说明理由 ;（ 3）若点 M是抛物线上一点，以B、 C、 D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。-分隔线 -yD解：抛物线与y 轴交于点 C（ 0， 3），设抛物线解析式为yax 2bx 3( a0)CMab 30,a1,P根据题意，得3b3 0,，解得2.9ab抛物线的解析式为yx22 x 3A OBx供参考由 yx 22x3 得， D点
12、坐标为（ 1， 4），对称轴为 x 1。若以 CD为底边，则PD PC，设 P点坐标为 (x,y)，根据勾股定理，得 x2(3y) 2(x1)2(4 y) 2 ，即 y 4 x。又 P 点(x,y)在抛物线上，4 xx22x 3 ，即 x 23x 1 0解得 x35351，应舍去。352，2x。2 y4x55，即点 P 坐标为35 , 55 。222若以 CD为一腰，因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C关于直线 x1 对称，此时点 P 坐标为（ 2， 3）。符合条件的点 P 坐标为35 , 55 或（ 2， 3）。22由 B（ 3， 0）， C（ 0， 3），
13、 D（ 1，4），根据勾股定理 , 得 CB 32 ,CD2 ,BD 2 5 CB 2CD 2BD 220yDCFMPAOEBx BCD 90设对称轴交x 轴于点 E，过 C 作 CM DE，交抛物线于点M，垂足为F，在 Rt DCF中， CFDF 1, CDF 45 ,由抛物线对称性可知，CDM 2 45 90 , 点坐标 M为（ 2， 3）， DMBC,四边形 BCDM为直角梯形由 BCD 90及题意可知，以 BC为一底时，顶点 M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;y不存在以 CD为一底或以 BD为一底，且顶点 M在抛物线上的直角梯形C综上所述，符合条件的点M的坐标为（ 2， 3）。D
14、E分隔线6P-5、已知抛物线 y ax2bxc 经过点 A（ 5， 0）、B（ 6， -6 ）和原点 .4（ 1）求抛物线的函数关系式；2（ 2）若过点 B 的直线 ykxb 与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBCFG A的面积 S的值 .1 25（ 3）过点 C作平行于 x 轴的直线交y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于- 2直线 DC下方的抛物线上，任取一点P，过点 P作直线 PF平行于 y 轴交 x 轴- 4供参考x- 6B于点 F，交直线 DC于点E. 直线 PF与直线 DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点 P，使得OCD与 CPE相似？若存在，求出点P 的坐标；若
15、不存在，请说明理由 .-分隔线 -25a5bc0a1解：（ 1）由题意得：36a6bc0解得：b5c0c0抛物线解析式为：yx25x（ 2） C 在抛物线上，2252m,m6C26B、 C在直线ykxb上点坐标为（， ），62kb解得： k3, b1266kb直线 BC的解析式为 y3x12设 BC与 x 轴交于点 G，则 G的坐标为（4，0）S OBC146146 2422（ 3）设 P(m, n) ，ODCE90故 CEm 2, EP6n OCD CPEyODDCODDCC或DECEEPEPCE6P即662 或6n224m 2n6m解得 m203n 或 n123m2又(m, n) 在抛物线上，m203nn123m12FG Anm2或nm25m5x5m- 2m110m22m12 m26解得3, 或,- 4n150n26n16 n269 P点坐标为1050- 6B(， ) 和 (6, 6) 。39供参考
