导数与微分

1、偏导数与全微分习题1. 设 ，求 。yxyxfarcsin)1(),()1,(f2. 习题 8 17 题。3. 设 ，考察 f (x, 00si),( 22yxyxfy)在点（0,0）的偏导数。4. 考察 在点001sin),( 22yxxyf（0,0）处的可微性。5. 证明函数在001sin)(),( 222yxyxyf点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而 f (x, y)在点（0,0）可微。1 设 ，求 。yxyxfarcsin)1(),()1,(fyfx )(2)(),( 。1),(f2.习题 8 17 题。17. 设 （a, b 为常数） ，证22)()(lnyaxz明 。 02y先化简函数 ，)()l(122byaxz 2)()()()(2axx ， 2222)()()()(1byaxbyaxyz， 222)()(byaxz，222)()(by。

2、定理 设函数 在点 可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也均在 处可导，且（1） （2） 为常数）推广： （3） 例 1 设 ，求 。解 例 2 设 ，求 。解 例 3 设 ，求 。解 例 4 设 ，求 。解 例 5 ，求 。解 例 6 ，求 。解 既 ,同样方法可求出的导数。例 7 例 8 求下列函数的导数（1） （2） 解 （1） （2） 前面我们讲反函数的连续性时讲过，区间 I 上的单调连续函数的反函数仍然是单调连续函数，现在我们假定它的导数存在来研究其反函数导数的情况。定理 ：如果函数 在某区间 内单调、可导且 ，那么它的反函数 在对应区间 内也可导。

3、其它形式,第二讲 、 导数与微分,1.函数在一点的导数与微分的定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,可导与连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,例,解,已知 f(x) 在 x=1处可导，试确定a, b 的值.,例,解：,例,例,定理,1）和、差、积、商的求导法则,2、求导法则 初等函数的导数,和、差、积、商的微分法则,2）复合函数的求导法则-链式法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),链式法则应用： 1.先分析函数的复合关系。

4、导数与微分的区别与联系(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率,即y/x 的极限.微分起源于微量分析,如y 可分解成 Ax 与o(x)两部分之和,其线性主部称微分.当x 很小时,y 的数值大小主要由微分 Ax 决定,而 o(x)对其大小的影响是很小的.(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而y 则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.(3)联系：导数是微分之商（微商）y =dy/dx,微分 dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.(4)关系：对一元函数而言,可导必可微,可微。

5、导数与微分的关系宁小青我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？一、微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一。

6、一、导数的概念,二、微分的概念,三、可导、可微和连续的关系,导数与微分的概念,2,一、导数的概念,1. 两个实例,切线割线的极限位置,（1）曲线的切线斜率,如图,如果割线 MN 绕 点 M 旋转而趋向极限位 置MT , 直线MT 就称为 曲线 C 在点 M 处的切线.,3,4,（2）变速直线运动的瞬时速度,取极限, 得瞬时速度,5,定义,2. 函数 y = f（x）在点 x0 处的导数,即,6,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,7,定义,3. 导函数,注意:,8,4. 用定义求导数,步骤:,例1,解,9,例2,解,10,例3,解,11,练习1,解,12,例4,解,13,5. 导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,14,例5。

7、一、引例,第三章 导数与微分,3.1 导数的概念,1.变速直线运动的速度,设s表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程，则s是时刻t的函数，即S=f(t),现在求 时的速度,路程S是时刻t的函数，S=f(t)，求速度。,显然物体在t这一段时间内所经过的路程为： s=f(t0+ t)-f(t0),物体在t这一段时间内的平均速度是：,所以 t0 时 刻的速度为,二、导数的定义,定义,例1,解,三、由定义求导数举例,例2,解,一般地,例如,四、导数的几何意义,切线方程为,例3,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,3.2 导数的基本公式与运算。

8、学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】【内容提要】1本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用2导数的概念函数 y=f(x)的导数 f(x)，就是当x0 时，函数的增量y 与自变量x 的比的极限，即xyxffxyf )(limli)( 00函数 y=f(x)在点 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点 处的切)(,0xfP线的斜率3函数的微分函数 y=f(x)的微分，即 dy=f(x)dx微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即 dxyf)(函数值的增量y 也可以用 y 的微分近似表示，即ydy。

9、第2章 导数与微分,结束,本章共六节，大体上分为两部分。其中第一部分是导数，第二部分是微分，从结构上来说它们是平行的。,2.1.1 引出导数概念的实例,例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线，割线的斜率为,2.1 导数的概念,这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角， 当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线 MT的斜率，即,当 趋向于0时，如果极限,设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成。

10、,第二章,导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,第一节,1.导数和微分的定义,一、导数的定义,四、导数的几何意义,三、函数的可导性与连续性的关系,二、单侧导数,五、微分,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极。

11、.第二章 导数与微分(A)1设函数 ，当自变量 由 改变到 时，相应函数的改变量xfyx0x0( )yA B C Dxf0xf000xffxf02设 在 处可，则 ( )f0 x0limA B C D0xff0xf02xf3函数 在点 连续，是 在点 可导的 ( )A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4设函数 是可导的，且 ，则 ( )ufy2xudyA B C D2xf2xf2xf5若函数 在点 连续，则 在点 ( )aaA左导数存在； B右导数存在； C左右导数都存在 D有定义 6 在点 处的导数是( )2xfA1 B0 C-1 D不存在 7曲线 在点 处切线斜率等于( )5423xy1,2A8 B12 C-6 D68设 且 二阶可导，则 ( )。

12、DDY 整理例 1 求曲线 在曲线上的点 处切线的斜率。 图 4-1 在曲线 上点 的附近另取一点 ，连接 和 得割线 ，当 沿曲线趋于 时,割线 的极限位置称为曲线在点 的切线。令 ， ，则 的斜率为 ，如果存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。设切线的倾角为 ，则DDY 整理从另一角度， 表示 在区间 （或 ）的平均变化率，极限 称为函数 在 的变化率。例 2 求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移 是时间 的函数，设运动方程为 ，求在 时刻的速度。定义 设函数 在点 的邻域内有定义，当自变量 从 变到 时，则函数得相应的增量 ，如果极限。

13、高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 1 -本资料对本章的基本概念和基本方法作出归纳和总结，并通过典型习题对其中的重要部分予以突出和强化，最后提供一份单元测试题用以检验阶段学习状况。资料仅做课外自习参考之用，勿与其它院系、其它专业传阅交流。 目录 学习内容和要求 .- 1 - 学习重点 .- 1 - 内容提要 .- 2 - 典型例题 .- 7 - 单元测试题 .- 8 - 典型例题解答 .- 9 - 学习内容和要求 1导数和微分的概念。 2导数的几何意义和物理意义。 3函数的可导性与连续性之间的关系。 4平面曲线的切线和法线。 5基本初等函数。

14、重庆工商大学融智学院微积分教案（上册）章节名称： 第三章导数与微分主讲教师： 岳斯玮联系方式： 15178738810微积分 （上册）教案66第三章 导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度） ， 几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际） ， 掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形。

15、1。 偏 导 数代 数 意 义 偏 导 数 是 对 一 个 变 量 求 导,另 一 个 变 量 当 做 数对 x求 偏 导 的 话 y就 看 作 一 个 数 ， 描 述 的 是 x方 向 上 的 变 化 率对 y求 偏 导 的 话 x就 看 作 一 个 数 ， 描 述 的 是 y方 向 上 的 变 化 率几 何 意 义对 x求 偏 导 是 曲 面 z=f(x,y)在 x方 向 上 的 切 线对 y求 偏 导 是 曲 面 z=f(x,y)在 x方 向 上 的 切 线这 里 在 补 充 点 。 就 是 因 为 偏 导 数 只 能 描 述x方 向 或 y方 向 上 的 变 化 情 况 ， 但是 我 们 要 了 解 各 个 方 向 上 的 情 况 ， 所 以 后 面 有 方 向 。

16、一、导数和微分的概念及应用,二、导数和微分的求法,导数与微分,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,例1.设,试确定常数a , b,解:,得,即,使 f (x) 处处可导,并求,是否为连续函数 ?,判别:,设,解:,又,例2.,。

17、第二章 导数与微分一、 基本内容（一）导数1.导数的定义设函数 在 的某领域内有定义，若极限)(xfy0 0)(lim0xfx存在且为有限数，则称函数 在 处可导，称此极限值为函数 在)(fy )(xfy处的导数.0x2.导数的几何意义是曲线 在点 的切线的斜率.)(f 0)(xfy)(,0xf3.左导数和右导数 00)(lim0xffx)(0x分别称函数 在 点处的左导数和右导数.)(xfy04. 存在的一个充分必要条件)(0xf在 点处可导的充分必要条件是 在 点处的左导数和右导数存在且相)(xf0等.5.可导与连续的关系定理 若函数 在 点处可导，则 在 点处一定连续；反之则不然.)(xf0)(f06.复合函数。

18、DDY 整理1许多实际问题中常常要求函数的增量。例如：一块正方形铁板，受热后边长由 增加到 ，（见图）问它的面积增加了多少？设边长为 ，则正方形面积 ，显然，铁板受热后增加的面积对应函数的增量 ，即 由两部分组成，第一部分 是 的线性函数，它的系数 是函数 在 处的导数；第二部分 当 时是 的高阶无穷小，即 ；这样 当 很小时， 问题：是否对于任一函数 都是如此呢？第一节中提到的增量公式回答了这一问题。如果函数 在 处可导，则有增量公式 DDY 整理2其中 称为函数增量 的线性主部，也叫做函数 在点 处的微分， 是 的高阶无穷小，当。