1、一、导数和微分的概念及应用,二、导数和微分的求法,导数与微分,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,例1.设,试确定常数a , b,解:,得,即,使 f (x) 处处可导,并求,是否为连续函数 ?,判别:,设,解:,又,例2.,处的连续性
2、及可导性.,二、 导数和微分的求法,1. 正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳;,间接求导法;,利用莱布尼茨公式.,导出,例3.,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数,解: 由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续, 即,得,2) 利用,而,得,3) 利用,而,得,二、 导数应用,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,
3、一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大
4、或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理 .,例1. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例3.,且,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,例4. 设实数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根 .,证:
5、令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例5.,设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且,分析: 所给条件可写为,(2003考研),试证必存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在 0, 2 上连续, 且在, 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,例6. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,二、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,
6、3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,相关变化率;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,4. 补充定理 (见下页),设函数,在,上具有n 阶导数,且,则当,时,证: 令,则,利用,在,处的 n 1 阶泰勒公式得,因此,时,定理.,的连续性及导函数,例7. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,例8. 证明,在,上单
7、调增加.,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,例9. 设,在,上可导, 且,证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .,证: 设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点 .,又因,因此,也至多只有一个零点 .,思考: 若题中,改为,其他不变时, 如何设辅助函数?,例10. 求数列,的最大项 .,证: 设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大值点,因此,在 处,也取最大值 .,又因,中的最大项 .,极大值,列表判别:,例11. 证明,证: 设, 则,故,时,单调增加 ,从而,即,思考: 证明,时, 如何设辅助,函
8、数更好 ?,提示:,例12. 设,在,上,存在 , 且单调,递减 ,有,证: 设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,证明对一切,例13.,证: 只要证,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14. 证明当 x 0 时,证: 令,则,法1. 由,在,处的二阶泰勒公式 ,得,故所证不等式成立 .,与 1 之间),例15. 求,解法1 利用中值定理求极限,原式,解法2 利用泰勒公式,令,则,原式,解法3 利用洛必达法则,原式,练习题,1. 设函数,上具有二阶导数，且满足,证：,故序列,发散.,(2007 考研）,保号性定理,2. 设,在区间,上连续 , 且,试证存在,使,证: 不妨设,必有,使,故,保号性定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,使,3. 已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,故存在,使,即,(2005 考研）,内可导, 且,(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在,使,3. 已知函数,阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,4. 设函数,证:,据泰勒定理, 存在,使,由此得,即有,(2007 考研）,情形1.,则有,内具有二,阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,情形2.,因此据零点定理, 存在,即有,则有,4. 设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,数学竞赛题,
