1、重庆工商大学融智学院微积分教案（上册）章节名称： 第三章导数与微分主讲教师： 岳斯玮联系方式： 15178738810微积分 （上册）教案66第三章 导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度） ， 几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际） ， 掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用本章教学重点与难点1导数概念
2、及其求导法则；2隐函数的导数；3复合函数求导；4微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算3.1 导数的概念教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1. 函数导数的概念、基本初等函数的导数2. 函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数教学过程一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国
3、数学家莱布尼茨(Leibniz) 分别在研究力学和几何学过程中建立起来的下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念微积分 （上册）教案671瞬时速度 思考：已知一质点的运动规律为 ， 为某一确定时刻，求质点在 时刻的速)(ts0 0t度。在中学里我们学过平均速度 ，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大t致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据
4、牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运动的路程是时间的函数 ，则质点在 到 这段时间内的平均速度为)(ts0tttsv)(可以看出它是质点在时刻 速度的一个近似值， 越小，平均速度 与 时刻的瞬时速0t v0t度越接近.故当 时，平均速度 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在tv时刻的瞬时速度，即物体在 时刻的瞬时速度为 0t 0t（1）tssvtt )(limli 00_0思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自由落体运动的运动方程
5、为：，21gts按照上面的公式，可知自由落体运动在 时刻的瞬时速度为0。00202000 )21(lim)(lim)(lim)( gtgttttsstv ttt 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念微积分 （上册）教案68曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N 沿曲线C趋向点M 时，如果割线MN绕点 M转动而趋向极限位置MT ，直
6、线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长 趋N于0， 也趋向于0.（如图所示）T（2）求切线的斜率设曲线 C为函数 的图形， ，则 ，点)(xfyCyxM),(0)(0xfy为曲线C 上一动点，割线MN的斜率为：00(,Nx00()(tanffxx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C 趋于M 时，即 ，割线的斜率趋向于切线的斜率。也就是说，如果 时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为 ，0xk即（2）000()(tanlimlixxfxfyk3.边际成本设某产品的成本C是产量x 的函数 ，试确定产量为 个单位时的边际成本。()C0x
7、用前两例类似的方法处理得：表示由产量 变到 时的平均成本，如果极限00()(xx0x（3） 0()(limx Cx存在，则此极限就表示产量为 个单位时成本的变化率或边际成本。0思考：上述三个问题的结果有没有共同点？上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如微积分 （上册）教案69xffx）00()(lim（4）的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数” 的概念.二、导数的定义1导数的概念
8、定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 在点 处取得增量)(xfy0 x0（点 仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量 ，如xx0 )(0ffy果极限 xffxy)(limli 000存在，则这个极限叫做函数 在点 处的导数，记为)(f0000 )(, xxx dfyfy或当函数 在点 处的导数存在时，就说函数 在点 处可导，否则就说)(xf0 )(f在点 处不可导.特别地，当 时， ，为了方便起见，有时就说)(f0 0xxy在点 处的导数为无穷大.xy关于导数有几点说明：（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有 hxfxfxfh)(lim)(00000)(li)(0x
9、ffx（2） 反映是自变量 x 从 改变到 时，函数0()fxxy 00x的平均变化速度，称为函数 的平均变化率；而导数 反映的是()fx()f ()limxyf微积分 （上册）教案70函数 在点 处的变化速度，称为函数 在点 处的变化率。()fx0 ()fx02导函数的概念上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数 在开区间I的每一点都可导，就)(fy称函数 在开区间I上可导，这时， ，都对应 的一个确定的导数值，)(xfyIxx就构成一个新的函数，这个函数叫做 的导函数，记作：)(fy。dxfx, 或即，导函数的定义式为：或xffyx)(lim0 .)(lim0hxfffh在这两个式子中， 可
10、以取区间I的任意数，然而在极限过程中， 是常量， 或才是变量；并且导数 恰是导函数 在点 处的函数值.h)(0f)(f0x3.单侧导数的概念我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。定义 极限 和 分别叫做函数xffx)(lim00 xffx)(lim00在点 处的左导数和右导数，记为 和 .)(xf0 )(0f)(0f如同左、右极限与极限之间的关系，显然：函数 在点 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数 都存在并)(f0x )(0xf )(0xf且相等.还应说明：如果 在开区间 上可导，且 和 都存在，就说)(f)
11、,(ba)(afbf在闭区间 上可导.)(xf,ba三、按定义求导数举例1根据定义求函数的导数的步骤根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： 求增量： )(xfxfy 算比值：微积分 （上册）教案71 求极限： xy0lim2运用举例例1 求 的导数（C 为常数）.y解 求增量 0作比值 0xy取极限 lim0所以 )(C即常量的导数等于零.例2 求函数 的导数.)(Nxyn解 ，nnn xxx)()(!2)1()( 21 ，21!(nx，10limnxy即 1)(nx注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即 )(.)(1Rx例如： ，x21)(21例3 求 的导数.fsin解
12、 hxhxffxhh sin)si(lm)(lm)(i 00 h cos2in)cos(li0即.xcos)(sin用类似方法，可求得微积分 （上册）教案72.xsin)(co例4 求 的导数.1,0(logaxya解 hxhxahaah )1(lgimlo)lim00 xahahxx)(li1(lgi 00ealo1所以 exaalog1)(l特别地，当 时，有ea)(ln例5 教材例3.4四、导数的几何意义由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数 在点 处的导数)(xfy0在几何上表示曲线 在点M（ ）处的切线的斜率。因此，曲线)(0xf )(xfy)(,0f在点M（ ）处的切线方程为
13、y,0fx.)(00xfy思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M 处的法线方程？根据法线的定义：过点M（ ）且垂直于曲线 在该点处的切线的直)(,0xf )(xfy线叫做曲线 在点M（ ）处的法线.如果 ，根据解析几何的知)(xfy 0识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为： ).(1000xfy微积分 （上册）教案73例6 求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方xy1)2,(程.解 根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为： 41)(2221 xyk所以切线的方程为，)(4y即 .0x法线的方程为，)21(4y即 .0
14、58x五、可导与连续的关系定理 函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数 在点 处可导，即)(xfy，)(lim00xfyx从而有，)(0f其中， ，于是)0(x，xfy)(0因而，当 时，有 。这说明函数 在点 处连续。xf思考：定理的逆命题成立吗？例7 讨论函数 在 处是否可导。xf)(0解 因 ，1lim)(lim00 xfhh，li)(li)( 00 ff hh即 在点 处的左导数、右导数都存在但不相等，从而 在 处不可)(xf xf)(0微积分 （上册）教案74导。注意：通过例7可知，函数 在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，xf)(所以函数在某点处可导，则一定
15、连续，反之不一定成立.课堂小结1.导数的表达式： xffxy)(limli 0002.基本初等函数的导数：0)(C1)(nn cos)(sixxsin)(cexaalog1l x)(l axln e3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。微积分 （上册）教案753.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 掌握隐函数的求导方法；5. 掌握并能运用对数求导
16、法；6. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数4. 会求隐函数的导数以及能运用对数求导法。教学过程前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理 1 函数 与 在点 x 处可导，则函数 在点 x 处
17、也可导，且()uxv()yuxv。 ()()yuv同理可证： ()()uxvuxv即证。微积分 （上册）教案76注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即，12 12()()()()nnuxuxuxx 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例 1 教材例 3.92.函数积的求导公式定理 2 函数 与 在点 x 处可导，则函数 在点 x 也可导，且()uxv()yuxvA。 ()()yuvAA注意：1）特别地，当 （c 为常数）时，u， ()()yvxc即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：。 ()()aubaubvx2）函数积的求导法则，也可以推广到
18、有限个函数乘积的情形，即。 12121212()nnnnu 例 2 求下列函数的导数。1） ； 2） 。3254siyxx34l5cosyxx解 1）微积分 （上册）教案772） 45sinyxx例 3 求下列函数的导数（教材例 3.10） 。1） ； 2）siA3lncosyxA解 1）33 2 2(4in)(4)si(i)nsco4cosyxxxxAA2） 33 3 32 3(lncos)(lns(l)sln(s)1i(lsls)yxxxxAA3.函数商的求导法则定理 3 函数 与 在点 x 处可导，且 ，则函数 在点 x 处也()uxv()0vx()uyv可导，且。 2()()()xuv
19、xxyvA微积分 （上册）教案78注意：特别地，当 （c 为常数）时，u。 2()0)()cvxy思考：请各位同学总结一下三角函数的导数公式。微积分 （上册）教案79总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有那么函数没有求导法则？在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理 4 设函数 在某一区间是单调连续，在区间任一点
20、 x 处可导，且()yfx，则它的反函数 在相应区间内也处处可导，且()0fx11()()fxf或 1()()fxf证 因为函数 在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数 在相()yfx 1()xfy应区间内也是单调连续函数。当 的反函数 的自变量 y 取得改变量 时，由()f1()f (0)y的单调性知 ，于是1xy1()0xyfxy微积分 （上册）教案80又因为 连续，所以当 时， 。由条件知 ，所以1()xfy0yx()0fx 00011limliliyxxyf故或 。1()()fxf1()ffx即证。例 6 求下列反三角函数的导数。1） ； 2） ；arcsinyxarcosyx3）
21、； 4） 。t t例 7 求函数 的导数。(0,1)xya解 由于 为对数函数 的反函数，根据反log(0,)axy函数的导数法则得 1()lnllog)x xayyA所以，指数函数的导数公式为 ()lx特别地，当 时，有ae()xe微积分 （上册）教案81三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如： 。sin2yx思考：如果 ，是否有 ？sin2yx()co因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理 设函
22、数 在点 x 处有导数 ，函数 在对应点 u 处有导()u()xu()yf数 ，则复合函数 在点 x 处也有导数，且()uyf()yf()fA简记为 或 。duxAxuxyA（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设 ，()yfu，则(),()ugvx或dyuvxxAuvxyA（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层
23、依次求导。例 8 教材例 3.15例 9 教材例 3.16例 10 求幂函数 的导数。uyx例 11 教材例 3.17（抽象函数求导）微积分 （上册）教案82例 12 求下列函数的导数。1） ； 2） 。()yfx()fxye四、隐函数的导数及对数求导法1.隐函数的导数（1）隐函数的概念函数 表示两个变量 y 与 x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的()yfx方式表达。例如 等，用这种方式表达的函数称为 y 是 x 得显函数。而sin,l1有些函数自变量 x 与因变量 y 之间的对应规律是由一个包含 x，y 的方程 来确(,)0F定的，例如 等，用这种方式表达的函数称为 y 为 x
24、 的隐函数。2351,0x（2）隐函数的求导方法1）可以化为显函数的隐函数：先化为显函数，再用前面所学的方法求导。2）不易或不能化为显函数的隐函数：将方程两边同时对自变量 x 求导，对与只含 x 的项，按通常的方法求导，对于含有 y 以及 y 的函数的项求导时，则分别作为 x 的函数和 x的复合函数求导。这样求导后，就得到一个含有 x，y， 的等式，从等式中解出 ，即得 y隐函数的导数。（3）隐函数求导举例例 13 （教材例 3.18）由方程 确定 y 是 x 得函数，求 y 的导数。0yex解 将方程中的 y 看成 x 的函数 ，利用复合函数的求导法则，将方程两边同()f时对 x 求导得，
25、0yexyA解出 。 (0)yyxe例 14 教材例 3.192.对数求导法（1）方法微积分 （上册）教案83对于某些类型的函数，可以采用先取对数，变成隐函数，利用隐函数的求导方法：对x 求导,解出 的方法求导。即所谓的对数求导法。y（2）适用范围：对数求导法对幂指函数 与多个函数乘积的形式特别方便。它可以使积、()gxyf商导数的运算化为和、差的导数运算。例 15 求函数 的导数。(0)x例 16 教材例 3.22课堂小结想一想：求导法则、基本初等函数的公式、反函数求导法则、复合函数的求导法则？通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函
26、数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：1.求导法则（1） （2）uv()uv（3） （c 为常数） （4） () 2(0)v（5） （c 为常数）2()v（6） 1 ()()0fyfx微积分 （上册）教案84（7） ，其中xuxyA(),()yfux2.基本初等函数的导数公式微积分 （上册）教案853.3 高阶导数教学目标与要求1.高阶导数的定义以及求法；2.熟记一些常见函数的高阶导数公式。教学重点与难点高阶导数的求法教学过程一、回顾一阶导数的相关概念1导数的定义2到函数的概念二、高阶导数1.高阶导数的定义思考：什
27、么是变速直线运动物体的加速度？前面讲过，若质点的运动方程 ，则物体的运动速度为 ，或)(ts)(tsv，而加速度 是速度 对时间 的变化率，即 是速度 对时间 的导dtsv)()(tav)(tat数： 或 ，由上可见，加速度 是)()(dtstv)(stv的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：)(ts定义 若函数 的导函数 在 x 点可导，就称 在点 x 的导数为函数)(xfy)(f )(f在点 x 处的二阶导数，记为 或 ，即)(fy,yf2dyx， 0()()limxfff此时，也称函数 在点 x 处二阶可导。)(fy关于高阶导数有以下几点说明：1）若 在区间 上的
28、每一点都二次可导，则称 在区间 上二次可导，并)(xfI )(xfI称 为 在 上的二阶导函数，简称二阶导数；If),(微积分 （上册）教案862）仿上定义，由二阶导数 可定义三阶导数 ，即)(xf )(xf。 0(limxfyf由三阶导数 可定义四阶导数 ，一般地，可由 阶导数 定义 阶)(xf )(4f 1n)(1xfn导数 ；)(n3）二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：， ， 或 与 或 ；)(0xfn)(0xyn0xndy0xnfnnndxyf),(,)( f4）开始所述的加速度就是 对 的二阶导数，依上记法，可记 或 ；st 2ts)(t5）未必任何函
29、数所有高阶都存在；6）由定义不难知道，对 ，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二)(xfy阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地， 阶导数的导数为1n阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用n前面的求导方法就可以了。2.求高阶导数举例例 1 ，求 。cbxay2 )4(,y解 。0,2)4( ya例 2 教材例 3.23例 3 ，求各阶导数。xey解 ， ， ， ，显然易见，对任何 ，有 ，xxeyx)4( nxney)(即 。xnxe)(例 4 ，求各阶导数。ysi解 )2sin(co,nxyx微积分 （上册）教案87)2sin(
30、)si(n xxy)23sin(co x)4si()2si()4( xxy一般地，有 ，即 。)in()()2sin()(i(x同样可求得 。2coss)(nx例 5 ，求各阶导数。)1ln(xy解 ， ， ， ，ly12)1(xy 3)1(2xy，4)4()132xy一般地，有 nnnxy)1(!)(即 。n)(!1(l)(例 6 ， 为任意常数，求各阶导数。xy解 ， ， ，21)(, xy 3)2(1xy，4)4( 3)y一般地， nn x)()2(1)( 即 。x1)( 当 为正整数时，k时， ；n nkn xkx )()2(1)(时， ；k!)(k时， 。0)(nx微积分 （上册）教
31、案88注意：上述例子中，所得的结论是一些常见函数的高阶导数公式，因此。请各位同学牢记，以后直接作为公式应用。为了便于同学们掌握，特归纳如下：课堂小结1. 二节导数的定义是什么？2. 常见函数的高阶导数公式。微积分 （上册）教案893.4 函数的微分教学目标与要求1. 理解函数微分的定义以及可微与可导的关系；2. 知道微分的几何意义；3. 掌握微分的基本公式和运算法则。教学重点与难点1 微分的定义的理解；2 微分的基本公式和运算法则的运用。教学过程一、微分的定义1.微分的定义思考：在学习微分之前，请同学们想一想，导数有何实际意义？根据导数的知识，知道导数表示函数相对于自变量的变化快慢的程度。在实
32、际生活中，还会经常遇到与导数密切相关的一种问题，即在运动或变化过程中，当自变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。但是，通常，计算函数的改变量是比较困难的，因此，希望能找到函数改变量的一个便于计算的近似表达式，这样就引入了微分学中的另一个重要概念微分。那么，微分的定义是什么呢？首先，我们通过一个简单的例子来体会一下微分的思想。引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 变到 ，0x(0)x如图所示，问此薄片的面积改变了多少？微积分 （上册）教案90设正方形的边长为 x，面积为 S，则有 。因此，当薄片受温度变化的影响时面2x积改变量可以看成是当自变量 x 由由 变到 时，函数
33、 相应的改变0(0)2Sx量 。即 。S220()x从上式可以看出， 由两部分构成：S1）第一部分 是 的线性函数；0x2）第二部分 ，当 时，是比 高阶的无穷小。2()0x于是，当 很小时，面积 S 的增量 可以近似地用其线性主部 来代替。即x 02x。0S数学上，这样的例子有很多，思考：是否所有函数的 都可以分成两部分：一部分是 的线性部分，其余部分是yx的高阶无穷小？x并不是所有函数的 都具有上述特点，数学上，将具有上述特性的函数的 的线性x部分称为函数的微分。因此，微分的定义如下;定义 设函数 在某区间内由定义， x 及 在这区间内，如果函数的增量()yfx可以表示为()yfx，()y
34、Axo其中 A 是不依赖 的常数，而 是 的高阶无穷小量。则称函数 在点 xx()o ()yf处可微，并称 为函数 在点 x 处的微分，记为 或 ，即yf dfx微积分 （上册）教案91或 。dyAx()dfAx如果改变量 不能表示为 的形式，则称函数 在点 x 处yo()yf不可微或微分不存在。根据微分定义，易知：2微分与导数的关系注意：微积分 （上册）教案92综上可知，求微分的问题可归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法称为微分法。二、微分的几何意义设函数 的图形如图所示，过曲线 上一点 处作切线)(xfy)(xfy),(yM，设 的倾角为 ，则MTtanf当自变量 有增量 时，切线
35、 的纵坐标相应地有增量xMTdyxfxQP)(t因此，微分 几何上表示当自变量 有增量 时，曲线 在对应fdy)( )(xf点 处的切线 的纵坐标的增量. 由 近似代替 就是用点 处的纵坐标),(xMTM的增量 近似代替曲线 的纵坐标的增量 。由图可知，函数的微分 与P)(xfQNdy微积分 （上册）教案93函数的增量 相差的量在图中以 表示，当 时，变动的 是 的高阶yPN0xPNx无穷小量.因此，在点 M 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段。简称“以直代曲” 。三、微分的基本公式与运算法则由微分的定义 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再()dyfx乘以自变量的微分。因此，
36、利用函数求导的基本公式和运算法则，可得出求函数微分的基本公式和运算法则. 为使用方便，列出如下. 1.微分公式（1） （ 为任意常数）0dC（2） （ 为任意实数）dxx1)(（3） （ 且 ） 特殊 aln01dxex)(（4） （ 且 ） 特殊 xdal)(log 1ln（5） dcssinxdsi)(cox2e)(ta 2ctdtansots)(（6） 21(arcin)(1xdx2(ros)()1dx2(arctn)xd21(arcot)dxdx2微分的运算法则微积分 （上册）教案94dvud)(（ 为任意常数）Cv)(2udvd（证明略）3复合函数的微分法则设函数 分别关于 u 和 x 可导，则由复合函数的求导法则可知(),()yfux()xxyf于是，根据微分的定义有 ()xdfudx并且 。所以， 或 。()dux()yfy注意：由此可见不管自变量 u 是自变量还是中间变量，微分的形式 总保()dyfu持不变，我们称此性质为微分形式的不变性。4微分的运算举例例 3 教材例 3.27例 4 教材例 3.28
