1、高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 1 -本资料对本章的基本概念和基本方法作出归纳和总结，并通过典型习题对其中的重要部分予以突出和强化，最后提供一份单元测试题用以检验阶段学习状况。资料仅做课外自习参考之用，勿与其它院系、其它专业传阅交流。 目录 学习内容和要求 .- 1 - 学习重点 .- 1 - 内容提要 .- 2 - 典型例题 .- 7 - 单元测试题 .- 8 - 典型例题解答 .- 9 - 学习内容和要求 1导数和微分的概念。 2导数的几何意义和物理意义。 3函数的可导性与连续性之间的关系。 4平面曲线的切线和法线。 5基本初等函数的导数。 6导数和微分的四则运算
2、。 7反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。 8高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数。 9一阶微分形式的不变性。 10微分在近似计算中的应用 学习重点 1导数和微分的概念，导数的几何意义； 2平面曲线的切线方程和法线方程； 3导数的物理意义，一些物理量的导数描述； 4导数的四则运算法则和复合函数的求导法； 5微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性； 6简单函数的 n 阶导数； 7分段函数的一阶、二阶导数； 8高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数。 9隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，反函数的导数。 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（
3、赵） - 2 -内容提要 一、导数的定义 1导数的定义 设函数 )(xfy = 在点0x 的某个邻域内有定义，若极限 0limxyx=000()()limxf xxfxx+存在 则称 )(xfy = 在点0x 处可导，并称这个极限为函数 )(xfy = 在点0x 处的导数，记为0|xxy=，0()f x ，0x xdydx=或 0()x xdf xdx=.即 xxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000函数 )(xf 在点0x 处可导有时也说成 )(xf 在点0x 具有导数或导数存在。 2单侧导数 )(xfy = 在0x 处的左导数：hxfhxfxfh)()(lim)(00+
4、=； )(xfy = 在0x 处的右导数：hxfhxfxfh)()(lim)(00+=+, 左导数和右导数统称为单侧导数. 定理 1 函数 )(xfy = 在点0x 处可导的充要条件是 )(xfy = 在点0x 处的左、右导数均存在且相等. 3导数的几何意义与物理意义 几何意义： 函数 ()y fx= 在点0x 处的导数0()f x 在几何上表示曲线 ()y fx= 在点00(,()M xfx 处的切线的斜率，即 0()f x tan= ，其中 是切线的倾角. 如果 ()y fx= 在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线 ()y fx= 的割线以垂直于 x 轴的直线0x x= 为极限位置，即曲线
5、 ()y fx= 在点00(,()M xfx 处具有垂直于 x 轴的切线0x x= . 物理意义： 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 3 -设 )(tfs = 表示直线运动的位移， t 表示时间，则 )(tv =dtds表示 ()f t 表示在时刻 t 的瞬时速度. 4函数的可导性与连续性的关系 定理 2 如果函数 )(xfy = 在点0x 处可导，则它在0x 处连续. 注意：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件；若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 可微，可导，连续间之间关系如图： 可微 可导 连续 二、导数与微分法则 1.导数与微分
6、的四则运算法则 求导法则 微分法则 ()uu = ()du du d = ()Cu Cu= （ C 为常数） ()dCu Cdu= ()uuu =+ ()du du ud = + 2() ( 0)uu =2() ( 0)uduudd = 2基本初等函数导数表（微分表） 导数公式 : 微分公式 : 1()x x = dxxxd1)(= xx cos)(sin = xdxxd cos)(sin = xx sin)(cos = xdxxd sin)(cos = 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 4 -xx2sec)(tan = xdxxd2sec)(tan = xx2csc)
7、(cot = xdxxd2csc)(cot = xxx tansec)(sec = xdxxxd tansec)(sec = xx cotcsc(csc) = xdxxxd cotcsc)(csc = aaaxxln)( = （ a 0, 1a ） adxaadxxln)( = （ a 0, 1a ） xxee =)( dxeedxx=)( axxaln1)(log = （ a 0, 1a ） dxaxxdaln1)(log = （ a 0, 1a ） 1(ln )xx= (0)x 1(ln )dx dxx= (0)x 211)(arcsinxx= dxxxd211)(arcsin= 211)
8、(arccosxx= dxxxd211)(arccos= 211)(arctanxx+= dxxxd211)(arctan+= 21(cot)1arc xx=+dxxxarcd211)cot(+= 3反函数的导数 设 )(yfx = 在区间yI 内单调、 可导且 0)( yf ， 则它的反函数 )(1xfy= 在 )(yxIfI = 内也可导，并且)(1)(1yfxf=或dydxdxdy1= 4复合函数的导数 若函数 )(xgu = 在点 x 处可导， 而 )(ufy = 在点 )(xgu = 处可导， 则复合函数 )( xgfy = 在点 x 处可导，且其导数为 )()( xgufdxdy=
9、或 dxdududydxdy=高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 5 -三、高阶导数 如果函数 )(xf 的导数 )(xf 在点 x 处可导，即 xxfxxfxfx+=)()(lim)(0存在，则称 )( xf 为函数 )(xf 在点 x 处的 二阶导数 ，记为 22()(), , .dy dfxfxydx dx 或类似地，二阶导数的导数称为 三阶导数 一般地， )(xf 的 1n 阶导数的导数称为 )(xf 的 n 阶导数 ,记为 .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 相应地， )(xf 称为 零阶导数 ，
10、)(xf 称为 一阶导数 定理 3（莱布尼茨公式） () () ( 1) ( 2)(1)()2!nn n nnnuv u v nu v u v=+ + +“()() ()(1)( 1)!nk k nnn n kuv uvk +“ 四 、 隐函数的导数、参数方程表示的函数的导数 1隐函数求导法 假设 )(xyy = 是由方程 0),( =yxF 所确定的隐函数，则把它代回方程 0),( =yxF 中，得到恒等式 0)(,( xfxF 利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量 x 求导（求导过程将 y 看作 x 的函数，因而要用到复合函数的求导公式） ，再解出导数dxdy，就是隐函数求导法 2
11、对数求导法 形如)()(xvxuy = 的函数称为 幂指函数 ，直接使用求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量 x 求导（过程与隐函数求导法类似） ，最后解出所求导数，这种方法称为对数求导法对数求导法还适用于连乘积形式的函数。 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 6 -3参数方程表示的函数的导数 设=)()(tytx， )(tx = 具有单调、连续的反函数 )(1xt= ，则变量 y 与 x 构成复合函数关系1()y x= ，且 .dtdxdtdydxdy=五、函数的微分 设 )(xfy = 在某区间内有定义，0x
12、 及 xx +0在这区间内，如果函数的增量 )()(00xfxxfy += 可表示为 )( xoxAy += ，其中 A 是与 x 无关的常数，则称函数 )(xfy = 在点0x 可微 ，并且称 xA 为函数 )(xfy = 在点0x 处相应于自变量改变量 x 的 微分 ， 记作 dy ， 即 xAdy = ， 称 dy 是 y 的线性主部 由于函数 )(xfy = 在点0x 可微的充分必要条件 是函数 )(xfy = 在点0x 可导，且当 )(xfy = 在点0x 可微时， ()Afx= ，故微分通常记作： dxxfdy )(= 无论 u 是自变量还是复合函数的中间变量， 函数 )(ufy
13、= 的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有 duufdy )(= 这一性质称为 微分形式的不变性 利用这一特性，可以简化微分的有关运算 . 当0()0fx 时，有 00 0001lim lim lim 1() ()xx xyy ydy f x x f x x = =从而，当 0x时， y 与 dy 是等价无穷小，因此，在 x 很小时，有近似等式： dyy 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 7 -典型例题 例 1 设 )(xp 在 ax = 处连续， )()()( xpaxxf = ，求 ()f a 例 2 设 ()f x 在 0x = 邻域内连续，0()lim 2
14、11xfxx=+，求 (0)f 例 3 设 (1 ) ( )f xafx+= ，且 (0)f b = （ 0ab ） ，求 (1)f . 例 4 若 )( xf 存在，求极限： （ 1）xxfxxfx+)()3(lim0（ 2）hxfhxfh)()(lim0. 例 5 设函数 ()21, 01, 0xxfxxx =，讨论函数在 0=x 处的连续性与可导性. 例 6 设函数2,0(),0xxxfxxe x =，问 cb, 取何值时，函数 )(xf 在 0=x 处可导 例 8 设=0001sin)(2xxxxxf 1） 求 (0), (0), (0), ( )f fffx+ ； 2） 求 (0 )
15、, (0 )ff+和0lim ( )xf x ； 3）研究 )(xf ， ()f x 的连续性 例 9 求21sin 0()00xxfxxx=的导数 ()f x ，并证明导函数 ()f x 在 x =0 不连续 例 10 设 )(xf 在 0=x 处连续，且xxfx)(lim0存在，证明 )(xf 在 0=x 处可导 例 11 求抛物线 y =2x 上一点处的切线，使其与 Ox 轴正向夹角为4 例 12 求下列函数的导数 (1) 22sin siny xx=； (2) sin 21etanxyx= ； (3) 10011xyx+=； (4) ln(1 3sin 3 )yx=+ ； (5) ln
16、ln(ln )yx= ； (6) 323(1)(2)(3)(4)xx xyxx += + ； (7) xxy )(sin= ； (8) ()(tan )f xxya x= （其中 1,0 aa ） ， )(xf 是可微函数； 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 8 -例 13 求下列函数的微分 (1) xxy sin2+= ； (2) 2esin3xy x= ； (3) 2ln xyx= ； 例 14 求由方程23xyexy= 所确定的隐函数 )(xyy = 的导数 例 15 设 )(xyy = 是由方程 sin 1yyxe+=所确定的隐函数，求曲线 )(xyy = 在点
17、 M（ 1， 0）的切线方程 例 16 已知=+=ttytxarctan)1ln(2，求22dydx 例 17 设2(sin )y fx= ， ()f u 是二阶可导函数，求xydd和22ddxy 例 18 求函数2siny x= 的 n 阶导数的一般表达式 例 19 设 cosxye x= ，求(4)y 例 20 求31.01 的近似值. 例 21 求0.21e 的近似值. 单元测试题 1求下列函数的导数（每小题 5 分，共 20 分） （ 1）xey arctan= ； （ 2）2sin 2xye= ； （ 3）21ln( 1 ) arctanyx xx=+ ； （ 4） )sin(ln)
18、cos(ln xxxy += 2计算下列各题（每小题 5 分，共 20 分） （ 1）设 () ( )xxf += 1ln ，求20.01d()xxfx= （ 2）设函数 )(xyy = 由方程 0cossin =xeyeyx确定，求 y （ 3）1)1(2+=xxxy ，求 y （ 4） xxy44sincos += ，求)(ny 3 (本题 10 分 )当 0x 时， bexfx+=2)( ； 当 x 0 时， )sin()( axxf = 求 ba, 的值， 使得 )(xf 在 0=x高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 9 -处可导 4 (本题 10 分 ) 设函数
19、 )(xyy = 由参数方程+=+=)1ln(,22tyttx确定，求曲线 )(xyy = 在 3x = 处的法线与 x轴交点的横坐标 5 (本题 10 分 )设函数 )(xyy = 由方程 1=yxey 确定，试求220xdydx=的值 6 (本题 10 分 )试求经过原点且与曲线59+=xxy 相切的切线方程 7 (本题 8 分 ) 设xxy )sin1( += ，求xdy= 8 (本题 12 分 )设1)( axf = xsin +2a sin 2x+ +“na nxsin ，且 xxf sin)( ，证明： 122naa na+“1 典型例题解答 例 1 设 )(xp 在 ax = 处
20、连续， )()()( xpaxxf = ，求 ()f a 解： ()f a = )()(lim)()(lim apxpaxafxfaxax=， 注意以下解法是错误的： () () ( ) ()f xpx xapx=+ ，代入 ax = ，得 ()f a = ()p a 原因在于未给出 )(xp 可导的条件，故不能利用乘积求导公式直接求导，只能用定义解出。尽管结果相同，但做法不正确。 例 2 设 ()f x 在 0x = 邻域内连续，0()lim 211xfxx=+，求 (0)f 解： 分母0lim( 1 1) 0xx+ = 0(0) lim ( ) 0xffx= = 00() (0) ()(0
21、) lim lim0xxf xf fxfx x =0() 1 1 1lim 2 1211xfx xxx+= =+ 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 10 -例 3 设 (1 ) ( )f xafx+= ，且 (0)f b = （ 0ab ） ，求 (1)f . 解：00 0(1 ) (1) ( ) (0) ( ) (0)(1) lim lim limxx xf xf afxaf fxffax xx + =(0)af ab=. 例 4 若 )( xf 存在，求极限： （ 1）xxfxxfx+)()3(lim0（ 2）hxfhxfh)()(lim0. 解： （ 1）xxfx
22、xfx+)()3(lim0 0(3) ()3lim 3 ( )3xfx x fxf xx+ =（ 2）hxfhxfh)()(lim0 0()()(1)lim ()hfx h fhf xh = =. 例 5 设函数 ()21, 01, 0xxfxxx =，讨论函数在 0=x 处的连续性与可导性. 解：因为 00lim ( ) lim ( ) (0)xxf xfxf+=，所以 )(xf 在 0=x 处连续. 00() (0) 1 1(0) lim lim 1xxfx f xfxx+ + =， 200() (0) 1 1(0) lim lim 0xxfx f xfxx =， 因为 (0) (0)ff
23、+ ，所以 )(xf 在 0=x 处不可导 例 6 设函数2,0(),0xxxfxxe x =，问 cb, 取何值时，函数 )(xf 在 0=x 处可导 解：要使函数在 0=x 处可导，首先要求函数在该点连续， 因为 1lim)(lim)00(00=xxxexff ， ccbxxxffxx=+=+)(lim)(lim)00(200由 (0 0) (0 0) (0) 1fff= += =， 1=c 而 200() (0)(0) lim lim0xxfx f x bxf bx x+ + =00() (0) 1(0) lim lim 10xxxfx f efx x =又因为 )(xf 在 0=x 点
24、可导，因此 (0) (0)ff+ = ， 1=b 故当1bc=时，函数 )(xf 在 0=x 处可导 例 8 设=0001sin)(2xxxxxf 1） 求 (0), (0), (0), ( )f fffx+ ； 2） 求 (0 ), (0 )ff+和0lim ( )xf x ； 3）研究 )(xf ， ()f x 的连续性 解： 1）因为 20001sin() (0) 1(0) lim lim lim sin 0xxxxfx fxxxx+ + + = 00() (0) 0 0(0) lim lim 0xxfx ffxx = 所以， )0(f =0 当 0x 时， ()f x =xxxxx1c
25、os1sin2)1sin(2= 当 0 =2） (0 )f+ = )1cos1sin2(lim)(lim00xxxxfxx=+不存在， (0 )f = 00lim)(lim00= xxxf ，因而 )(lim0xfx不存在。 注意： (0)f+ 与 (0 )f+ 的含义是不同的，由以上讨论过程即可看出。 3）因为 )(xf 在（ + , ）上可导，所以 )(xf 在（ + , ）上连续。 由 ()f x 的表达式可知： 当 0x 和 0 aa ） ， )(xf 是可微函数； 解：(1) +=22sin)(sin xxy )(sinsin22xx2sin 2 sinx x= +22cossin2
26、 xxx (2) )e(1tane)1(tan2sin2sin+=xxxxy2 sin 2 sin 2211 1sec ( )e tan e cos 2 2xxxxx x= + sin 2 2211 1=e sec 2cos 2 tan xxx xx+ (3) +=99)11(100xxy =+)11(xx+99)11(100xx=2)1(2x10199)1()1(200xx+ (4) =+= 3sin313cos1xxxyxxx3cos3sin31+ (5) )ln(lnln21211ln1.)ln(ln1xxxxxxxy = (6) 两边取对数： yln = )4ln(ln3)3ln()2
27、ln()1ln(32+ xxxxx , 两边关于 x 求导： 413312111321+=xxxxxyy, 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 14 -整理得 )413312111(32dd+=xxxxxyxy (7) 两边取对数： xxy sinlnln = , 两边关于 x 求导： xxxxyycossin1sinln1+= , 整理得 )cotsin(ln)(sin xxxxyx+= 也可利用以下方法求得（先把幂指函数化为指数函数，然后求导） ： lnsin lnsin ln sin ( ) ( ln sin ) (ln sin cot )xx xx xxye e
28、x xe xx x= =+ )cotsin(ln)(sin xxxxx+= (8) 两边取对数： )ln(tanln)(ln xxaxfy += , 两边关于 x 求导： xxxxaxfdxdyy2seccot)ln(tanln)(1+= , 整理得 +=xxxxaxfxadxdyxxfcossin)ln(tanln)()(tan)( 例 13 求下列函数的微分 (1) xxy sin2+= ； (2) 2esin3xy x= ； (3) 2ln xyx= ； 解：(1) d(2cos)dy xxx=+ . (2) 2e(2sin3 3cos3)dxdy x x x=+. (3) 312lnd
29、xdy xx= . 例 14 求由方程23xyexy= 所确定的隐函数 )(xyy = 的导数 解：等式两边关于 x 求导： xyxyyxyexy63)(2+=+ ， 移项并整理得 236xxeyexyyxyxy= ， 再利用方程式整理得 )1()2(=xyxxyyy . 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 15 -例 15 设 )(xyy = 是由方程 sin 1yyxe+=所确定的隐函数，求曲线 )(xyy = 在点 M（ 1， 0）的切线方程 解：方程两边对 x 求导数得 0cos =+dxdyxeedxdyyyy所以，yyxeyedxdy+=cos， 曲线 )(x
30、yy = 在点 )0,1(M 的切线斜率为 10xydykdx = =21 所求切线方程为： 2121+= xy 或 012 =+ yx 例 16 已知=+=ttytxarctan)1ln(2求22dydx 解：把 t 看作中间变量，有 21211122ttttdtdxdtdydxdtdtdydxdy=+= ， 所以， dxdtdtdxdyddxdydxddxyd=)()(22)(4112211)2(12ttttdtdxdttd+=+= 【注】设=)()(tytx，)(tx =具有单调连续的反函数 )(1xt= ，则变量 y 与 x 构成复合函数关系1()y x= ，且 ()dydydttdx
31、dxdt= ，特别需要注意的是：22() ()() ()dy d dy d t d ttdx dx dx dx dt =，正确的作法应为：22() () 1 ()() ()()dy d dy d t d t dt ttdxdx dx dx dx dt dx tdt = 例 17 设2(sin )y fx= ， ()f u 是二阶可导函数，求xydd和22ddxy 解：设 ,sin),(2xuufy = 则 xydd=2cos2)( xxuf , 高等数学阶段小结 第二章 导数与微分 高等数学（赵） - 16 -22ddxy=)sin4cos2)()(cos4)(222222xxxufxxuf
32、+ 例 18 求函数2siny x= 的 n 阶导数的一般表达式 解： 2sin cos sin2y xx x=， )22sin(22cos2+= xxy ， )222sin(2)22cos(222+=+= xxy ， )232sin(2)222cos(233)4(+=+= xxy ， 2)1(2sin21)(+=nxynn 例 19 设 cosxye x= ，求(4)y 解：令xue= ， cosvx= ，有 xuu u e=， v=sin x， v=cos x， v=sin x， v(4)=cos x， 由莱布尼兹公式得 y(4)=u(4)v + 4uv + 6uv + 4uv + uv(4)=excos x + 4(sin x) + 6(cos x) + 4sin x + cos x = 4excos x 例 20 求31.01 的近似值. 解：由 ()( )()xxfxfxxf +000， 设 () ,3xxf = 10=x ， 01.0=x ，因 () ,3132= xxf 则 +=3301.0101.1323111 1 0.01 1 0.01 1.003333+ =+ . 例 21 求0.21e 的近似值. 解：由 () () ()xffxf 00 + ，所以 xx+1e ，则 21.121.01e21.0=+= . The End
