1、第二章 导数与微分一、 基本内容（一）导数1.导数的定义设函数 在 的某领域内有定义，若极限)(xfy0 0)(lim0xfx存在且为有限数，则称函数 在 处可导，称此极限值为函数 在)(fy )(xfy处的导数.0x2.导数的几何意义是曲线 在点 的切线的斜率.)(f 0)(xfy)(,0xf3.左导数和右导数 00)(lim0xffx)(0x分别称函数 在 点处的左导数和右导数.)(xfy04. 存在的一个充分必要条件)(0xf在 点处可导的充分必要条件是 在 点处的左导数和右导数存在且相)(xf0等.5.可导与连续的关系定理 若函数 在 点处可导，则 在 点处一定连续；反之则不然.)(x
2、f0)(f06.复合函数求导公式定理 若函数 在开区间 内可导， 在开区间 内可导；uy,ba)(xu),(又当 时， 内也可导，则以 为自变量的复合函数),(x)(在 也可导，而且fy xuxy)()(ffd7.高阶导数函数 的导数 称为 的二阶导数，二阶导数用以下符号表示为dxy)(dxy)(xf， ， ， ，)2(y)(xf2dy同样定义三阶导数，四阶导数，；函数 的 阶导数的符号为n， ，)(n)(fnx8.隐含数的导数若方程 在区间 上确定了可导的函数 ，则求),(),(yxGF),(ba)(xfy的过程为：)xf(1)在 的两侧视 为 的函数同时对 求导；, yxx(2)在得到的等
3、式中解出 .9.参变量求导定理 若 ， )(t为变量 的函数，且在区间 内可导，)(txt ),(恒成立，则方城0)(t )(tty定义了一个可导的函数 ，而且xf)(td10.对数求导法 xxyln（二）微分1.微分的定义设函数 在 的某领域内有定义，若存在一个与 无关的常数 使)(xfy0 xA)0()(0 oxAfxf则称函数 在 点是可微的，我们称0dy为函数 在 点相应于自变量增量 的微分 .)(xfy2.可微于可导的关系函数 在 点可微的充分必要条件是在 点可导，且有0 0xfdy)(0二、练习题2.1 在下列各题中，求 ，并化简：xy(1) ；)1ln(2xey(2) ；ta(3
4、) ；)1ln(rct22 xx(4) ；1tn2y(5) ；)l(2(6) ；bxabxrctn(7) ；axxayrcsin22(8) ；(9) ；0)cos(iny(10) ；xyl(11) ；2x(12) ； eycosln(13) xy)(i)(cs(14) ；1,22ttx(15) 21)ln(arcos)(arcosln)(arcos xxy解：(1) )1(122 xxxxee2xxxx1xe(2) 1tansects)1ln(ta)ln(ta 22 xxyx22 ect1tsec(3) 1arcn22 xy (4) 1ln12222 xx= 232 )1(lx23)1(lnx
5、(5) )1ln(1)l 222 xxy(6) babxax)()(ln(n2221bxaax)(2b(7) axaxxy 1)(2122 222)(aaa0222 xx(8) )21(1xy (9) 两边对 求导x0)(sincosin yx解之得 yxyi)i(10) elnln两边对 求导 yxyex 1)(ln解之得 xyxey21lnl(11) xxeylnln22)l2()l1( )ln(122 2ll xxx xeexx (12) 两边 求导 xyyex 2sinl1)(解得xeyyln2si(13) 两边取对数 )l(sil(co)yy两边 求导x yxx incoslnisi
6、)ln(解得 yycot)l(ai(14)两式对 求微分t dtx12tttdy)(2)1(x(15)令 则 xuarcos2du)ln(2uy对 求导 uuduy 222 ln)1l()1ln( 对 求导x 221lxudxy)(arcosnarcs22.2 设 在 处可导，求)(xf0 0)(lim0xffx解：由于 在 处可导，故 00)(li)(0ffx 00 )()()(li 00 xxfffxfxx )(m0 ffx)(lim)(lim000xfxffx )2.3 讨论函数 在 0 点得可导性.,0,1(xef解：因 01lim1li)0(0 xxxx eef lili)( 101
7、0 xxxx eef故 ，从而 在 0 点不可导.)0(ff2.4 设 ，求 .)9()21xx )1(f解： !9831(lim)(0 ff2.5 当 a 为何值时，曲线 ， 相切？并求切线方程.2axyxln解： ，即切点的 坐标为 ；x2)(ln2 a21另一方面 ，从而 ；a1lne21切线方程为 2)e(1xy2.6 求过原点且与曲线 相切的直线方程.59xy解：设切点 ，则直线的斜率为),(0x24)590k得直线方程 )()5(4590200 xxxy又由于直线过原点 则 2解得 或3010故直线方程为 xyx25或2.7 证明曲线 上任何一点的切线所截两坐标轴的截距之和)0(a
8、yx为 .a解： ；xydydxay 21 曲线在 处的切线方程为 ；),(0x 00)(x切线的截距式为 ；100 yyx截距为 ax200 )(22.8 设 ，求 .)tan(y)3(解：在 的两边 关于为 求导:xyx;1 )(tan sect 22yy)()1(342y 824653 10610yyy 2.9 设 求 ,并证明 不存在.,2)(xxf)(f)(f解：当 时， ；0f63)(2当 时， ；0|2lim)(0xfx，6li)( xff；2li)( 00xfx由于 ，故 不存在.f)(f2.10 证明 .24coscos(sin1)(44 nxxn解： ；xx 4cosii2
9、1i 132)s()s()cos(s 21434 nnn2.11 设 ，求 .xyln12xdy解： ；l ；322 )1()1()()1()( xxdyxxdydyx当 时， ， .121x81x2.12 设 f(x)在-1，1上有界， ，求 .)sin()(2xfg)0(g解： 0ilim0)sin(lim)0( 22 xxfgxx2.13 验证 满足关系式baylilco.2解： )lncosl(si)lncosl(si122 xxbxay 所以 0yx2.14 设 ，求 .x22dy解： 22yxy2322322)( )()( yxyxxy)684()(1 4242446832 yy
10、2.15 设 f(x),g(x)是 上有导数的函数，且 f(x)g(x)=1,求证),(.0)(xgf解： 0)(ln)(l0)(ln1 xgfxgf)(f测试题（二）1. 若函数 在 处可导, 计算:xfa(1) ; (2) .hfh2)()(lim0 haffh )()(lim0解：（1）原式 afa2)(li0ffafhh )(li1)(021f（2）原式 haffaffh )()(lim0 xx yhfylim0)0 ,(；)()(afafyf 当 时，同理可得，原式 ；0 ,)(af当 时，同理可得，原式 ；当 时，明显有，原式 ； , 0总之，原式 .)(af2. 求下列函数 的
11、和 ,再回答 是否存在:)xf0ff)(f(1) (2) ; ),1ln(sif .0 ,e1xxf(1) )0(0xfcos所以 ;1)()(fff(2) 01lim01li)0( xxxx eef1lim01li)0( xxxx eef故 ，从而 在 0 点不可导.)(f)(f3. 确定 的值,使函数 在 上处处可导.ba 0 ,)1ln(,si)xbaxf ),(解： 1)0(cos)(01ln(i000affxf bxfxx4. 设函数 , 其中函数 在 上有定义,且)()(bxaxf)(x)存在,求 .)(a)解： abaff xx (lim0li0。 )(2 )(li)(li )(
12、00abbxxabxx5 求下列函数的导数:(1) ; (2) ;)arcsin(xy xy1arctn(3) ; (4) ;xtanlo2tl )el(2(5) .)0( xy解：(1) xcssi12(2) 2)1(xy2212x(3) xxy tansecotalnsi2taec2xsi1tlisn1(4) xxey221xe2)(x1(5) eyln)ln1(22l1xxx6. 求下列函数的二阶导数:(1) ; (2) .xylncos2 21xy解：(1) x2cosl)si(xxy 2cosin1in22csslcosx(2) 232)1(1xxy255)()(37. 求下列函数的
13、 阶导数:n(1) ; (2) .xy1 axby解：(1) 21)(34xy25)1( nn xny21)( )()2(2) abax2)(by3ax1)( )(!nnnby8. 设函数 由方程 所确定,求 .xf exy)0(y解: yy -0e02)(232 2)()(yyyyyexxe2)0y9. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 的二阶导数 :dxy2dxy(1) (2) ;sin,co3tayx .arctn2),1l(y解：(1) tdtic2ayosin3tdxyantatdxtytcse31ino1)()(422(2) 2tdx1tyx23241)()(tdxtytdy
14、10.求曲线 在 相应点处的切线和法线方程213taytx解： 2)1(3)()( tattx261)36ttataty点的切线方程为2t 251259ayax化减得切线方程为 0134yx点的法线方程为2t 0)()6(y化减得法线方程为 .3ayx11 设 ，用微分求 的近似值 .)1(.0)(ef )5.1(f解：由于 ,取 ，则5.5.f 0,0x95)1(.)1()0.1(2.)(1. 00 ff xxffx12. 证明函数 在 处的二阶导数不存在.|2)(xxf0解：当 时， ；06)3(当 时， ；f；0|lim)(20xfx，6li)( xff；2li)( 00xfx由于 ，故 不存在.)(f)(f13. 证明: 若偶函数可导, 则它的导数为奇函数; 若奇函数可导, 则它的导数为偶函数.解：设 为偶函数，则 为奇函数；)(xff)()(xff设 为奇函数，则 为偶函数；)14. 证明: 若周期函数可导, 则它的导数也为周期函数.解：设 为周期函数，则 为周期函数.)()xTff )()xTfxf
