高数 偏导数

1、四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数,隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数,1、隐函数的导数 P102,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,如,例1 1),解,解得,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,2)设 y=y(x) 由方程 ey =xe f(y) 确定, f (x)二阶可导, f (x)1, 求 y.,解 方程两边对x求导: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y,故,3) 函数y=y(x)由方程,所确定,求,解：,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,2、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对。

2、1,引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,第七节 方向导数与梯度,一、问题的提出,2,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,在偏导数存在的前提下,5,证明:,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,是。

3、,第九章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3)。

4、,一、基本初等函数导数公式,第一节 求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),例,例2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,理论推广,例3,解:,练习：求下列函数的导数,第二节 定积分,一、定积分的定义,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,性质1。

5、,一、基本初等函数导数公式,第一节 求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),例,例2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,理论推广,例3,解:,练习：求下列函数的导数,第二节 定积分,一、定积分的定义,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,性质1。

6、,一、基本初等函数导数公式,第一节 求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),例,例2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,理论推广,例3,解:,练习：求下列函数的导数,第二节 定积分,一、定积分的定义,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,性质1 。

7、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式。

8、,二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应。

9、第二讲：连续、导数、微分,1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分,(1),(2),(3),一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,解,例,如,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二。

10、第三章 导数的应用,教学目的要求,1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。,2、理解函数极值的概念。,3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调性、凹凸性；求函数的极值、最值。,学习重点和难点,重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸性、极值，导数在实际中的应用。,难点 导数在实际中的应用。,罗尔（Rolle)定理,中值定理,拉格朗日（Lagrange)中值定理,柯西（Cauchy)中值定理,其他型未定式的极限,函数的单调性,导数的 正负号判断 函数的 单调性,函数的极值,函数极值的判定与求法,定理 （极值存在的必要条件）,定理（极值的第。

11、第二节,偏导数与高阶偏导数,一、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于 x0 处,求,一阶导数与二阶导数.,关于 t 的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,二元函数。

12、2.4 导数的计算,10 基本的求导公式及求导法则,(1) 可导与连续的关系,定理(可导与连续的关系),如果 y=f (x) 在 x0处可导,则 f (x) 必在 x=x0 处连续 , 反之不然.,证明,需证,由 f (x) 在 x0 处可导,得,所以,因此 , f (x) 在 x0 处连续,反过来结论不成立,反例,则有,可知 f (x) 在 x =0 处连续 ,但是,不存在,所以, f (x) 在 x =0 处不可导,(2) 可导的充要条件,定理 (可导的充要条件),证明,说明：,若 f (x) 在 x0处可导 , 则有,f (x)在 x0处的右导数：,f (x)在 x0处的左导数：,定理 (可导与单侧导数的关系),例,解,所以为使 f (x) 在 x = 0 处连。

13、高数导数公式,高数导数公式大全,大学高数导数公式大全,高数里的导数公式,高中数学导数解题技巧,高等数学公式定理大全,高二数学导数讲解,高中数学导数试题,高数1c6e常用对数求导公式,不定积分求导基本公式。

14、一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,解,令,则,解,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,1、二元函数极值的定义,2、多元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解,则,多元函数的。

15、 1. 偏导数求解方法 ： 例题：求 22z= 3x xy y在 (1,2)处的偏导数 . 解： 把 y看作常量 ，得 23z xyx 把 x看作常量 ，得 32z xyy 将（ 1,2）带入上述结果，就得 12| 2 1 3 2 8xyzx 12| 3 1 2 2 7xyzy 2. 高阶偏导数求解方法 . 设函数 z (x,y)f 在区域 D内具有偏导数 ( x, y )xz fx (x, y )yz fy 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22( ) (x , y )xxzz fx x x , 2( ) (x , y )xyzz fy x x y 2( ) (x , y )yxzz fx y y x , 22( ) (x , y )yyzz fy y y 3. 全微分 .(求偏导 数 后加上 ,dxdy ) 函数 (x,y)zf 的全微分： zzd z d x 。

16、 第八章 习题课 机动目录上页下页返回结束 一 基本概念 二 多元函数微分法 三 多元函数微分法的应用 多元函数微分法 一 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1 多元函数的定义 极限 连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2 几个基本概念的关系 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 机动目录上页下页返回结束 1 讨论二重极限 解法1 解法2令。

17、第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,一、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,机动 目录 。