1、 1. 偏导数求解方法 ： 例题：求 22z= 3x xy y在 (1,2)处的偏导数 . 解： 把 y看作常量 ，得 23z xyx 把 x看作常量 ，得 32z xyy 将（ 1,2）带入上述结果，就得 12| 2 1 3 2 8xyzx 12| 3 1 2 2 7xyzy 2. 高阶偏导数求解方法 . 设函数 z (x,y)f 在区域 D内具有偏导数 ( x, y )xz fx (x, y )yz fy 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22( ) (x , y )xxzz fx x x , 2( ) (x , y )xyzz fy x x y 2( ) (x , y )yx
2、zz fx y y x , 22( ) (x , y )yyzz fy y y 3. 全微分 .(求偏导 数 后加上 ,dxdy ) 函数 (x,y)zf 的全微分： zzd z d x d yxy. 例题：计算函数 xyze 在点 (2,1) 处的全微分 . 解： ,xy xyzzy e x exy222211| , | 2xxyyzzeexy所以 222dz e dx e dy 4. 多元复合函数求导法则 (先求偏导 数 ，再对复合函数求偏导 数 ). 例题 1：设 z uv sin t ， 而 tue ， cosvt ，求全导数 dydt 。 解： s i n co std z z d
3、u z d v z ve u t td t u d t v d t t c o s s i n c o s (c o s s i n ) c o st t te t e t t e t t t 例题 2：求 22(xy ,x y)zf 的 22zx（其中 f 具有二阶连续偏导数） . 解： 22 1222122 2 2 2 11 12 2 21 224 3 2 2 11 12 22( ) ( 2 )2 ( )( y 2 ) 2 ( 2 )y 4 4zzy f f y xx x x xfy y f xxxy f x y f y f x y f x y ff x y f x y f 5. 隐函数求
4、导公式 . 定理 1：设函数 F(x,y) 在点 00P(x,y ) 的某 一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y ) 0 ， 00F (x ,y ) 0y 在点 00(x,y) 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (x)yf ，它满足条件 00(x )yf ，并有 xydy Fdx F . 定理 2：设函数 F(x,y,z) 在点 0 0 0P(x ,y ,z ) 的某一领域内具有连续偏导数，且 0 0 0F(x , y ,z ) 0 ， 0 0 0F (x , y , z ) 0z 在点 0 0 0(x ,y ,z ) 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的
5、函数 (x,y)zf ，它满足条件0 0 0(x ,y )zf ，并有 xzzFxF ， yzFzyF . 例题： 设方程 2 2 2 2xyz x y z 确定隐函数 (x,y)zz ，求 (1,0, 1)dz| . 解： 令 2 2 2(x , y , z) 2F xyz x y z 2 2 2xF x yzx y z ，2 2 2yF y xz x y z 2 2 2zF z xyx y z 2 2 22 2 2y z x y z xz F xx F z x y x y z z 2 2 22 2 2x z x y z yz F yy F z x y x y z z ( 1 ,0 , 1
6、) ( 1 ,0 , 1 )| 1 , | 2zzxy (1 ,0 , 1 )d z | 2d x d y . 6. 空间曲线的切线和法平面。 设曲线 的参数方程为 ( t ) , y ( t ) , z ( t )x ( t ，三个函数在 , 上可导 ) .取曲线 上一点 0 0 0M(x ,y ,z ) ,则曲线在 M 点处的切线方程为 0 0 0 x y y z z(t ) (t ) (t )x 切线方向向量成为切向量，向量 ( (t), (t), (t)T 就是曲线 在点 M的一个切向量 . 法平面过 0 0 0M(x ,y ,z ) ，且以 T 为法向量，法平面方程为 0 0 0(t
7、)( x ) (t)( y y ) (t)( z z ) 0x 例题： 求曲线 23,x t y t z t 在点 (1,1,1) 处的切线及法平面 . 解：因为 2x 1, 2 , 3t t ty t z t 。而点 (1,1,1) 所对应的参数 t=1，所以 (1,2,3)T 切线方程为 1 1 11 2 3x y z 法平面方程为 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 3 ( z 1 ) 0 即 2 3 6x y z . 7. 曲面的切平面与法线 . 设曲面 由 (x,y,z) 0F 给出， 0 0 0M(x ,y ,z ) 是曲面 上的一点 . 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，
8、向量 0 0 0 0 0 0 0 0 0( (x , y , z ), (x , y , z ), (x , y , z )x y zn F F F 就是曲面 在点 M处的一个法向量。 曲面的 切面方程是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(x , y , z )( x ) (x , y , z )( y y ) (x , y , z )( z z ) 0x y zF x F F 曲面的法线方程是 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0x y y z z(x , y , z ) (x , y , z ) (x , y , z )x y zxF F F v . 例题： 求旋转抛
9、物面 221z x y 在点 (2,1,4) 的切平面及法线方程 . 解 : 22(x, y ) x 1fy ( 2 ,1 , 4 )( , , 1 ) =( 2x,2y ,- 1)| ( 4 , 2 , 1 )xyn f fn所以在点处的切平面方程是 4 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 即 4x+2 y-z-6=0 法线方程为 2 1 44 2 1x y z 求切平面的 步骤 ：已知函数 (x,y,z)F ，求 其 在 0 0 0(x ,y ,z ) 处的切平面 . (1)求一阶偏导数 ,x y zF F F ; (2)法向量 ( , , )x y zn F F F
10、; (3)切平面为 : 0 0 0( x ) (y y ) (z z ) 0x y zF x F F . 8. 方向导数 . 如果函数 (x,y)f 在点 0 0 0(x ,y )p 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有 00(x , y ) 0 0 y 0 0| (x , y ) co s + (x , y ) s i nxf ffl 其中 cos sin， 是方向 l 的方向余弦 . 例题：求函数 2yz xe 在点 (1,0) 处沿着从点 P(2,3) 到点 Q( 1,2) 的方向导数 . 解： 这里方向 l 即 ( 3, 1)PQ 的方向，与 l 同向的单位向量为
11、31()10 10e ， . 因为函数可微分，且 22( 1 ,0 ) ( 1 ,0 )| 1 , | 2 2yyzze xexy 故所求方向导数为 ( 1 , 0 ) 3 1 5| 1 21 0 1 0 1 0zl 9. 梯度 . 函数 (x,y)f 在点 0 0 0(x ,y )p 处的梯度记作 00(x , y )grad f ，即 0 0 0 0 y 0 0(x , y ) (x , y ) + (x , y )xg r a d f f i f j 10. 多元函数的极值和其求法 . 定理 1：设函数 (x,y)zf 在点 00(x,y) 具有偏导数，且在点 00(x,y) 处有极值，
12、则有 0 0 y 0 0(x , y ) = 0 (x , y ) = 0xff， 定理 2： 设函数 (x,y)zf 在点 00(x,y) 的某一领域连续且有一阶 及 二阶连续偏导数 0 0 y 0 0(x , y ) = 0 (x , y ) = 0xff， ，令 x 0 0 x y 0 0 y y 0 0(x , y ) = A (x , y ) = B , (x , y ) = C ,xf f f， 则 (x,y)zf 在 00(x,y) 处是否取得极值的条件如下： (1) 2AC-B 0 时具有极值，且当 A0或 C0时 00(x ,y )f 是 极小值 ； (2) 2AC-B 0
13、时， 00(x ,y )f 不是 极值； (3) 2AC-B 0 时，可能有极值，也可能没有极值 .（以上方法失效，需进一步判定） 例题：求函数 3 3 2 2( x , y ) x 3 3 9f y x y x 的极值 . 解：先解方程组 22( x, y ) 3 6 9 0( x, y ) 3 6 0xyf x xf y y 求得驻点为 (1, 0) (1, 2 ) ( 3 , 0) ( 3 , 2 )、 、 、. 再求二阶偏导数 x (x, y) 6 x 6xf ， xy(x, y) 0f ， yy (x, y ) 6 y 6f 在点 (1,0) 处， 2AC- B 12 6 0 ，又
14、A0，所以函数在 (1,0) 处有极小值 (1,0) 5f ； 在点 (1,2) 处， 2AC -B 1 2 ( 6) 0 ，所以 (1,2)f 不是极值； 在点 ( 3,0) 处， 2AC -B 12 6 0 ，所以 ( 3,0)f 不是极值； 在点 ( 3,2) 处， 2AC -B 12 ( 6) 0 ，又 A0，所以函数在 ( 3,2) 处有极大值 ( 3,2) 31f . 11. 条件极值 拉格朗日乘数法 .(必考 ) 要找函数 (x,y)zf 在附加条件 (x,y) 0 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数： ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )Lf 其中 为参数 .
15、求其对 x 和 y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与 (x,y) 0 联立起来： ( x, y ) ( x, y ) 0( x, y ) ( x, y ) 0( x, y ) 0xxyyff 由方程组解出 x， y及 ，这样得到的 (x,y) 就是函数 (x,y)zf 在附加条件 (x,y) 0 下的可能极值点 . 例题 1：求函数 2 2 2( , y , z) 2 3f x x y z 在条件 2 2 2 100x y z 下的最大值和最小值 . 解：作拉格朗日函数： 2 2 2 2 2 2( , y , z) 2 3 ( 1 0 0)L x x y z x y z 令： 2 2 22 2
16、 04 2 06 2 0100xyzL x xL y yL z zx y z 0010xyz 0100xyz 1000xyz 因为 ( 1 0 , 0 , 0) 1 0 0 , ( 0 , 1 0 , 0) 2 0 0 , ( 0 , 0 , 1 0) 3 0 0f f f 所以 ( 1 0 , 0 , 0) 1 0 0 , ( 0 , 0 , 1 0) 3 0 0mi n ma xf f f f 例题 2： 抛物面 22z x y被平面 1x y z 截成一椭圆，求原点到这一椭圆的最长与最短距离 . 解：在椭圆上任取一点 (x,y,z) ，其到原点的距离是2 2 2d x y z ，令 2 2 2 2( x, y , z )f d x y z . 作拉格朗日函数： 2 2 2 2 2( , y , z ) ( ) ( 1 )L x x y z x y z x y z 令： 222 2 02 2 0201xyzL x xL y yLzz x yx y z 3 1 3 1222 3 2 3x y x yzz 3 1 3 1 3 1 3 1( , , 2 3 ) 9 5 3 , ( , , 2 3 ) 9 5 32 2 2 2ff 由题目本身可知，最长和最短距离一定存在，所以 9 5 3 , 9 5 3m i n m a xdd
