1、1导数的定义 2求导法则 3微分与应用,一、本 章 要 点,1导数的定义,1) 导数,左导数,右导数,函数可导 左导数=右导数,可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续,导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点,曲线的切线方程及法线方程：,切线,法线,的切线斜率,2) 求导法则 设 为可导函数，则,反函数的求导法则 设函数 为 的反,函数，直接函数 在区间 上连续、单调，可导且,其导函数 ，则,对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为,复合函数的导数 设函数 均为可导,函数，则函数 为可导函数，且,3) 高阶导数 若函数 是 阶可导，则递归定义,，或 ，,其中，记 ,阶导数
2、的Leibniz公式 设 为两个 阶可导的函数，,则函数 也 阶可导，且有,由隐函数求导法，得到对数求导法,4) 隐函数的导数 设函数 由方程,确定，在一定的条件下，可以求出函数 的导数,注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的,形式给出,5) 由参数方程确定的函数的导数 设函数 由参,数方程,确定，则当 时，可确定 为 的函数(或,为 的函数)，相应的导数为,由此方法，可得到更高阶的导数,若令 ，则,3微分,1) 微分的定义 若函数 的增量具有表达式,则函数 可微，相应的微分为,2) 可微的条件 函数 在点 处可微的充要条件,是 在点 可导，且有,3) 微分应用 近似计算公式,二、
3、例题选讲,例1 设 求 ,解 当 时， ， ，,当 时， ， ，,当 时，,即 不存在因此,例2 设 且 存在，,求 ,解 因 存在，故 在 处连续，所以,即得 ,又因 存在，而,因此 ,例3 设 在 的某个邻域内有定义，又,，讨论下列函数在 的可导性：, ； ,解 设 ，则 ，,即 , 设 ，则 ，,故极限存在的充分必要条件为 ，此时,例4 设,其中 ，且 ，证明,证 ，,故 ， ，因此,即得 ,例5 可导函数 的图形与 相切于原,点，试求 ,解 由条件得 ， ，,例6 证明可导的周期函数的导函数为周期函数,因此有,证 设 为周期函数， 为其周期，即,即 为周期函数,例7 设 ，求 ,解法一
4、 因 ，因此,解法二 因 ，,其中 为一多项式，故,例8 设 ，求 ,解,故切线方程与法线方程分别为,例9 曲线 上哪一点的切线与直线,平行，并求过该点的切线与法线方程,解 设切点为 ，则切线的斜率为,例10 试求垂直于直线 且与曲线,相切的直线方程,解 设切线的斜率为 ，切点为 ，因切线与已知,直线 垂直，得 又由,得 ，从而切点为 故切线方程为,例11 设 ，其中 为可导函数，求 ,解,解 两边取对数，得,例12 设 由 确定，求 ,两边对 求导，得,两边继续求导，得,即,所以,将 代入上式并整理，得,例13 设 ，求 ,解 ，因此,即,例14 求由参数方程 所确定的函数,的二阶导数 ,解
5、,解 将极坐标转化为参数方程，得,切线方程,例15 求由三叶玫瑰线 在对应 处的,则当 时， 切线斜率,故切线方程为,直的方向航行，求经过 5s 后，人与小船分离的速度,例16 某人以 2m/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面,20m，在此人的正下方有一条小船以 m/s 的速度在与桥垂,解 设经过 秒后，船与人的距离为 m，人行走距离,船的距离为,为 m，船行走距离为 m，则人与,当 时， ， ， ，代入上式，得,已知 ， ，方程两边对 求导，得,例17 求 的近似值,解,三、练 习,1求下列函数的导数 ：,1) ； 2) ；,3) ； 4) ；,5) ； 6) ；,7) ； 8),2求高阶导数,1) ，求 ；,2) 求 ；,3) ，求 ；,4) ，求 ；,数，求 ,5)设 ，其中 为 阶可导函,
