1、2.4 导数的计算,10 基本的求导公式及求导法则,(1) 可导与连续的关系,定理(可导与连续的关系),如果 y=f (x) 在 x0处可导,则 f (x) 必在 x=x0 处连续 , 反之不然.,证明,需证,由 f (x) 在 x0 处可导,得,所以,因此 , f (x) 在 x0 处连续,反过来结论不成立,反例,则有,可知 f (x) 在 x =0 处连续 ,但是,不存在,所以, f (x) 在 x =0 处不可导,(2) 可导的充要条件,定理 (可导的充要条件),证明,说明：,若 f (x) 在 x0处可导 , 则有,f (x)在 x0处的右导数：,f (x)在 x0处的左导数：,定理
2、(可导与单侧导数的关系),例,解,所以为使 f (x) 在 x = 0 处连续 ,b = -1,需有 1+b = 0 , 即,又 存在,现在,得 a = 2 ,当 b =-1 , a =2 时 , 函数 f (x) 在 x = 0 处可导, 且,此时,所以,(3) 求导法则及基本求导公式,定理 (求导的四则运算法则),设 u (x) , v (x) 在 x 处可导 , k1 , k2 R 为常数 , 则,证明 (3),对任意,利用导数定义 , 有,下面推导一些常用的求导公式,证明,同理可证,证明,同理可得,证明,证明,定理 (反函数的求导法则),证明,对任意的,记,则,所以,又 f (x) 在
3、 x 处连续 ,则当 时 ,故有,证明,因为 y=f (x) 在 R 上连续且严格单调 , 其反函数,根据反函数求导法则有,证明,因为 y=arcsinx 在 ( -1 , 1 ) 上连续 , 严格单调 ,根据反函数求导法则有,同理可得,定理 (复合函数的求导法则链式法则),证明,由 在 x 点处可导 ,其中,于是有,两边同除以,得,由 在 x 点处可导 ,可知 在 x 处连续,从而有,所以,公式也可表示为,注：,证明,因为,若令,则根据复合函数求导法则 , 有,基本求导公式,20 显函数求导法举例,例,解,例,解,例,解,中间变量多于一个的情形,一般地，,例,解,例,解,例,解,例,解,例,
4、解,当 x 2 时 ,当 x = 2 时 , 此时 x = 2 为分段点,可知 f (x) 在 x =2 处不可导 .,所以,30 隐函数的求导法,隐函数：,隐函数的求导法：,例,求由 确定的隐函数在,( 2 , 4 ) 处的导数,解,将 y = y(x) 代入方程有,两边对 x 求导 , 有,解得,令 x =2 , y = 4 得,例,解,把 y 看作 x 的函数 , 两边对 x 求导 , 有,解得,例,y =y(x) 由方程 确定 , 求,解,两边对 x 求导得 ( y 是 x 的函数 ),解得,作为隐函数求导法的应用 , 下面介绍对数求导法 .,先介绍一个求导公式,例,则当 x 0 时
5、,当 x 0 时 ,解,例,解,将以上函数两边取绝对值和对数 , 有,将上式两边对 x 求导 , 得,所以有,例,解,将以上函数两边取对数 , 有,将上式两边对 x 求导 , 得,40 由参数方程所确定的函数的求导方法,问题：,分析：,设 x关于t 的反函数存在 , 即,则,若再设 在 x 处可导 , y 在 t 处可导,则有,为计算,则可得,故有以下结论：,设,(1) x 关于t 严格单调 , 连续且有导数,(2) y关于t 可导 , 则有,例 1,解,例,解,在时刻 t 时 , 曲线 L 上对应点为,其切线斜率为,切线方程：,50 极坐标系下曲线的切线问题,将曲线写成参数方程 , 得,则,按点斜式方程不难写出直线方程,例,解,心形线的参数方程为,切线斜率,切线方程:,
