1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。,导数和微分是继连
2、续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。,重点,导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,问题的提出,导数的定义,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系,利用导数定义求导数,小结,第一节 导数的概念,左、右导数,一、引出导数概念的两个实例,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N
3、 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,其它形式,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,就说函数,关于导
4、数的说明：,注意:, 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数。, 导数定义式中的x必修连续地趋于零。,三、由定义求导数,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,四、左、右导数,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:, 左右导数统称为单侧导数,例6,解,五、 导数的几何意义与物理意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法
5、线方程为,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,例7. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,六、可导与连续的关系,证,定理 若y=f(x)在 点可导，则y=f(x)在 处一定连续.,定理2. 函数,(左),(左),由定理1和定理2,可得:,在闭区间 a , b
6、 上可导,注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数.,连续函数不存在导数举例,例如,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,例如,例如,七、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时,
7、 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,作业,P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,练习题答案,
