1、,一、基本初等函数导数公式,第一节 求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),例,例2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,理论推广,例3,解:,练习：求下列函数的导数,第二节 定积分,一、定积分的定义,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,性质1 常数因子可提到积分号外性质2 函数代数
2、和的积分等于它们积分的代数和。,二、定积分的简单性质,性质3 若在区间 a , b 上 f (x)k，则性质4 定积分的区间可加性若 c 是 a , b 内的任一点，则,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,则积分上限函数,定理1. 若,三、 牛顿 莱布尼兹公式,定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),定理2.,函数 ,则,例1、 计算,解:,例 2、设 求,解,例3,其中,解:,四、 定积分的换元法和,分部积分法,定理 （定积分的换元公式）设函数 f (x)在区间 a , b 上连续；函数在 上单
3、值且有连续导数；当 时，有 ，且 则,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,定理 （定积分的分部积分公式）设函数 u (x) , v (x) 在 a , b 上有连续导数，则,例4. 计算,解:,原式 =,第三节 广义积分（反常积分）,引例. 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,记作,类似地 , 若,则定义,第三节 广义积分（反常积分）,则定义,( c 为任意取定的常数 ),引入记号,
4、则有类似牛 莱公式的计算表达式 :,例1. 计算广义积分,解:,例2. 计算广义积分,解:,第五节 二重积分,其中D是积分区域,定理 设,在矩形区域,上可积，且对每个,积分,存在，则累次积分,也存在，且,特别当,在矩形区域,连续时，有,例 1 计算,其中,解,区域,定理 设,在 X- 区域 D 上连续，y1( x ) ,y2( x ) 在 a, b 连续，则,称为 X 型区域,区域,则,称为Y 型区域.,若 D 为Y 型区域.,若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,例2、计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例3、 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解,及直线,这是 Y- 区域，,画出积分区域的图形,先对 x 后对 y 积分,解法2,D 也是 X- 型区域，,显然解法1比解法2好 ！,例4、计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 画积分区域图形，,因为,则,若先对 x 积分，,的原函数不能用初等函数表示，因此,改用另一种顺序的累次积分，于是有,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,若积分区域为 X- 型,则,若积分区域为 Y-型,则,习题,1、求,其中D：,2、求,其中D：,3、求,其中D：,
