6.1 线性微分方程的一般理论

1、1 2 5线性方程组解的一般理论 一 线性方程组有解的判定定理二 齐次线性方程组解的结构三 非齐次线性方程组解的结构 2 则线性方程组的向量表达式为 1 2 3 系数矩阵与增广矩阵 则线性方程组的矩阵表达式为 非齐次齐次 4 1 当m n时。

2、迭代法的一般理论 不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法 一种圆周率计算方案 初值 x0 1 将一个计算过程反复进行称为迭代 迭代法是一类常见常用的计算技术 不动点迭代法 f x 0 若存在x 使得 则称x 为不动点 例2 1方程x3 4x2 10 0在 1 2 上有一个根 将方程变换成另一形式 1 n 0 1 2 n 0 1 2 2 fi inline 0 5 sqrt。

3、迭代法的一般理论,不动点迭代法 不动点迭代的收敛性 迭代序列的收敛速度 序列收敛加速方法,一种圆周率计算方案:,初值: x0=1,将一个计算过程反复进行称为迭代，迭代法是一类常见常用的计算技术。,不动点迭代法,f(x) = 0,若存在 x*,使得 ,则称x*为不动点,例2.1 方程 x3 + 4x2 10 = 0 在 1, 2 上有一个根, 将方程变换成另一形式:,(1),( n = 0, 1, 2, ),( n = 0, 1, 2, ),(2),fi=inline(0.5*sqrt(10-x3); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1; end,fi=inline(sqrt(10/(4+x); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x。

4、9.1 微分方程的一般概念,我们在研究科学技术和经济管理中某些现象 的变化过程时 往往需要寻求有关的变量之间的函 数关系 但是 有时这种关系不容易直接建立起来 却可能建立起含有待求函数的导数或微分的关系 式 这种关系式称为微分方程 通过解微分方程才 能得出所要求的函数,解,引例1 求过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程,设所求的曲线方程是yy(x) 则根据题意有,其中y(1)表示x1时y的值,显然 这种函数的一般形式是yx2c (c为任意常数) 这是一簇曲线 簇中每一条曲线在点x处的切线斜率均为2x 将已知条件y(1)3代入上式 求出c2 则yx22 这就是所。

5、二分法 二分法简述 二分法优 缺点 用途 迭代法的一般理论 不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法 一种圆周率计算方案 初值 x0 1 将一个计算过程反复进行称为迭代 迭代法是一类常见常用的计算技术 不动点迭代法 。

6、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 1第三讲 一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2 课时）一、目的与要求: 理解一阶线性非齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构, 理解常数变易法.二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构, 常数变易法.三、难点：常数变易法.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 课题引入本节研究一阶线性非齐次方程组(3.7)()dYAxF的通解结构与常数变易法.2. 通解结构定理 3.8 。

7、,(1) 数学准备在高阶动态电路和系统分析中，为了运算和书写的方便，我们引入了微分算符。,5.2 一般电路系统I/O微分 方程的建立和求解,5.2.1 电路系统I/O微分方程的建立,定义,微分算符,积分算符,性质： 等式两边的算符不能直接相消；即：若 Pf1(t)=Pf2(t), 则 f1(t)=f2(t)+A即 f1(t) f2(t)这是因为同时积分要多一个常数。 积分算子P1左乘一个P时，分子分母中的P可以相消， 而积分算子P1右乘一个P时，分子分母中的P不可以相消; 即：PP11 而 P1 P1,将上述性质推广，可以得到如下结论：如果N(P)是算符P的多项式，则,并且,(2) 广义阻抗,(3) 建。

8、2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,1,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,2,控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,3,第二章 控制系统的数学模型,1.定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部 其它变量之间关系的数学表达式,2.描述方法：输入-输出描述（端部描述） 常微分方程 传递函数 系统框图状态变量描述（内部描述） 状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统,一. 描述系统运动的数学模型,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,4,二. 建立系统数学模型的方法,解析法: 。

9、a0a2a1a4a3a4a5a4a6a4a7a4a8a4a9a4a10a4a11a4a7 a12a14a13a14a15a17a16a14a18a14a19a14a20a21 2a22a24a23a24a25a24a26a24a27a24a28a24a29a24a30a24a312.1 a32a34a33a34a35a34a36a38a37a34a39a34a36a38a40a34a41a34a42a34a43a44a24a45a47a46a49a48a24a50a24a51a24a52 (E)a. a53a24a54 f(x) a55 Rn a56a24a57a24a58a24a59a24a60a24a61a62 xa63a24a64a24a65a24a66a68a67 Rn a69a71a70a24a72a24a73 . a74a24a75a24a76 x a77a24a78a24a79a24a80a24a65a24a81a83a82a83a84 ta77a24a78a24a85a68a67a86a84(E)a a77a87a78a87a79a87a80a87a65a87a88a8。

10、1/30,第二章 控制系统的数学模型,机电学院自动化研究所：柯海森 仰仪南楼310 电话：86914549,2/30,2.1 列写系统微分方程式的一般方法,2.2 非线性数学模型的线性化,2.3 传递函数,2.4 系统框图及其等效变换,2.6 信号流图和梅逊公式的应用,2 控制系统的数学模型,2.5 控制系统的传递函数,3/30,系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。,2.1 列写系统微分方程式的一般方法,实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等） 。,建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中。

11、1/40,第二章 控制系统的数学模型,机电学院自动化研究所：柯海森 仰仪南楼310 电话：86914549,2/40,2.1 列写系统微分方程式的一般方法,2.2 非线性数学模型的线性化,2.3 传递函数,2.4 系统框图及其等效变换,2.6 信号流图和梅逊公式的应用,2 控制系统的数学模型,2.5 控制系统的传递函数,3/40,系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。,2.1 列写系统微分方程式的一般方法,实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等） 。,建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中。

12、浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法 王焕 赤峰学院数学学院，赤峰024000 摘要：一阶线性微分方程组是一类特殊的微分方程组。这类微分方程组的理论研究结果比较完整，而且它们在实际和理论问题中都占有很重要的位置。然而，在很多实际和理论问题中，常要求我们去求解多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。那么，首先让我们谈一谈它的基本理论知识，从两个方。

13、线性微分方程组的基本理论,一、齐次线性方程组的解的结构二、非齐次线性方程组的解的结构,则方程称为非齐次线性的。,则方程称为齐次线性的。,如果,若,为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。,如果,（1）,（2）,证明：,定理1 若 是方程组（2）的解，,特别：,问题：,是方程组（2）的解。,是通解？,（2）,满足什么条件时,表示所有解？,线性相关与线性无关,设有 n 个定义在区间,上的向量函数,朗斯基行列式,称为这些向量函数的朗斯基行列式。,如果向量函数,上线性相关，则它们的朗斯基行列式,定理2,在区间,由假设，存在不全为零的常数,使得,证明。

14、5.2 线性微分方程组的 一般理论,一阶线性微分方程组:,称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.,非齐线性微分方程组.,一 齐次线性微分方程组,1 叠加原理,定理2,证明:,则有,所以,2 函数向量组线性相关与无关,证明:,证明:,要使,则需,因为,所以,故,线性无关.,3 函数向量组线性相关与无关的判别准则,(1) Wronsky行列式,由这n个向量函数所构成的行列式,称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式,(2)定理3,证明:,相关,(3)定理4,证明:,“反证法”,则,现在考虑函数向量,由定理2知,由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有,矛盾,注1:,注2:,(4)定理5,(5.。

15、5.2 线性微分方程组的 一般理论,齐线性方程组 非齐线性方程组,2,(5.15)称为对应于(5.14)的齐线性方程组,(5.14)称为非齐线性方程组,(5.15),3,5.2.1 齐线性微分方程组,(5.15),Consider:,定理2说明，(5.15)的所有解的集合构成一个 线性空间。,问题：此空间维数是多少 ？,4,例如,线性无关,线性相关,5,6,7,/,8,9,通解,10,11,由定理1*得，初值问题,的解为,12,13,解：,14,5.2.2 非齐线性方程组,(5.14),Consider:,15,16,常用方法之一常数变易法,假设(5.14)有解形如,这里，c(t)是待定的向量函数,(5.24),将(5.24)代入(5.14)得,(5.26),17,由定理7、8。

16、5.2 线性微分方程组的一般理论,一阶线性微分方程组,称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.,非齐线性微分方程组.,5.2.1 齐次线性微分方程组,1 叠加原理,定理2,证明,则有,所以,2 函数向量组线性相关与无关,证明,例1,证明 函数向量组,在任何区间都是线性相关的.,证明,要使,例2,证明 函数向量组,则需,因为,所以,故,线性无关.,3 函数向量组线性相关与无关的判别准则,(1) Wronsky行列式,由这n个向量函数所构成的行列式,称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式,定理3,证明,定理4,证明,“反证法”,则,现在考虑函数向量,由定理2(叠加原理)知,由(5.17)知。

17、第四章 高阶线性微分方程,Higher-Order Linear ODE,1,2018/10/19,常微分方程-重庆科技学院-李可人,2, 4.1 高阶线性微分方程的一般理论, 4.2 常系数高阶线性方程的解法, 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法,本章内容/Main Contents/,CH.4 Higher-Order Linear ODE,2018/10/19,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3, 理解高阶线性方程解的性质和解的结构, 熟练掌握常系数高阶线性方程的解法,本章要求/Requirements/, 掌握高阶方程的一般解法,CH.4 Higher-Order Linear ODE,2018/10/19,常微分方程-重庆科技学院-李可人, 4.1 高阶线性微分方程的 一。

18、1线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法, 给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法The General Theory of Linear Differential Equation Abstract：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutions of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differen。

19、6.1 线性微分方程的一般理论,一 一阶线性微分方程组的向量表示,对一阶线性微分方程组:,则(5.1)可写成,(1)定义1,(2)定义2,初值问题,解:,显然,化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.,解:,设,则有,即有,也即,注:,每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立.,如:,方程组,不能化为一个二阶微分方程.,二、存在唯一性定理,1 存在唯一性定理,2 n阶线性微分方程的解存在唯一性定理,推论,一阶线性微分方程组:,称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.,非齐线性微分方程组.,三 一阶线性微分方程解结构理论,一 齐次线性微分。