1、迭代法的一般理论,不动点迭代法 不动点迭代的收敛性 迭代序列的收敛速度 序列收敛加速方法,一种圆周率计算方案:,初值: x0=1,将一个计算过程反复进行称为迭代，迭代法是一类常见常用的计算技术。,不动点迭代法,f(x) = 0,若存在 x*,使得 ,则称x*为不动点,例2.1 方程 x3 + 4x2 10 = 0 在 1, 2 上有一个根, 将方程变换成另一形式:,(1),( n = 0, 1, 2, ),( n = 0, 1, 2, ),(2),fi=inline(0.5*sqrt(10-x3); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x=fi(x0);er=abs
2、(x-x0);x0=x;k=k+1; end,fi=inline(sqrt(10/(4+x); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1; end,k=16 x0=1.3652,k=6 x0=1.3652,roots(1,4,0,-10) ans =-2.6826 + 0.3583i-2.6826 - 0.3583i1.3652,x3 + 4x2 10 = 0,构造有效的迭代格式 选取合适的迭代初值 对迭代格式进行收敛性分析,不动点迭代法需要研究的问题,证 若 或 ,显然 有不动点.,设 , 则有 ,记 则
3、有,所以,存在x*,使得 即 , x*即为不动点.,不动点迭代序列的收敛速度,定理2.4 如果 ,满足条件:; (2),则对任意的 x0 a, b , 迭代格式 产生的序列 xn 收敛到不动点 x*,且有,证,( 0L1 ),所以, 故迭代格式收敛,不动点迭代序列的收敛速度,数列的 r 阶收敛概念,特别: (1) 收敛阶r=1时,称为线性收敛;(2) 收敛阶r1时,称为超收敛;(3) 收敛阶r=2 时,称为平方收敛。,序列的收敛阶数越高,收敛速度越快。,例2.2 方程 x3+10x-20=0,取 x0 = 1.5, 证明迭代法,是线性收敛,证:令 f (x) = x3 + 10x 20,绘出
4、y = f(x) 图形,可知方程的根 x*1.5, 令,利用Lagrange中值定理, 有,其中, 介于xn和x*之间. 所以,由此可知,这一序列的收敛阶数为1,即迭代法是线性收敛.,显然,在x*附近,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛。,由Taylor公式,其中, 介于xn和x*之间。 所以,故迭代法p阶收敛。,数列收敛加速原理,线性收敛数列,Steffensen迭代法,Aitkin加速收敛序列,x0=1;f=1;n=1; k=0;error=1; t=cputime; while error0.00001f=-f;n=n+2;x=x0+f/n;error=abs(x-x0
5、);x0=x;k=k+1; end cputime-t k, 4*x,例2.3 数列 收敛于 速度慢,time = 0.3900 k = 50000 ans = 3.1416,迭代加速方法:,time = 0 k = 26 ans = 3.1416,x1=1;x2=x1-1/3;x3=x2+1/5; y0=x3; k=3;n=5; f=1;error=1; t=cputime; while error0.00001 y=x3-(x3-x2)2/(x3-2*x2+x1);error=abs(y-y0);y0=y; k=k+1;x1=x2;x2=x3;f=-f;n=n+2;x3=x3+f/n; end time=cputime-t k,4*y,
