1、线性微分方程组的基本理论,一、齐次线性方程组的解的结构二、非齐次线性方程组的解的结构,则方程称为非齐次线性的。,则方程称为齐次线性的。,如果,若,为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。,如果,（1）,（2）,证明：,定理1 若 是方程组（2）的解，,特别：,问题：,是方程组（2）的解。,是通解？,（2）,满足什么条件时,表示所有解？,线性相关与线性无关,设有 n 个定义在区间,上的向量函数,朗斯基行列式,称为这些向量函数的朗斯基行列式。,如果向量函数,上线性相关，则它们的朗斯基行列式,定理2,在区间,由假设，存在不全为零的常数,使得,证明,线性无关，那么，它们的朗斯基行列式,设有某一个,使得,考
2、虑下面的齐次线性方程组：,证明,用反证法。,定理3,故,证毕。,它的系数行列式,，所以方程组有非零解,以这个非零解作向量函数,易知 x(t) 是（2） 的解，且满足初始条件,而在,上恒等于零的向量函数 0 也是（2）的,满足初始条件 的解。,使,因为,不全为零，这就与,线性无关矛盾。,由解的唯一性，知道 即,定理得证。,线性相关。,重要结论,方程组(2)的解,在区间,线性无关,线性相关,从上述结论可得,上,方程组(2)的解,在区间,线性相关,上,证明：,在 上连续，取,则方程组(2)分别满足下列条件的解存在。,线性无关。,而,故,的解，则（2）的任一解 x ( t ) 均可表示为,定理5,方程
3、组（2）的线性无关解的最大个数等于 n 。,n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。,推论2,推论1,定理6 （通解结构定理）,是方程组（2）的n个线性,无关的解，则,如果,（1）方程组（2）的通解可表为,基本解组:（2)的 n 个线性无关解。,解矩阵：,由(2)的 n 个解的列构成的矩阵。,由（2）的n 个线性无关解的列构成的矩阵。,基解矩阵：,（2）,是（2）的任一解，则,而且，如果对某一个,定理8,一个解矩阵 是基解矩阵的充要条件是,，c是常数向量,例4 验证,是方程组,的基解矩阵。,首先证明,是解矩阵。,令,解,这表示,是方程组的解，,是解矩阵。,又因为,是基解矩阵。,，所以,因此,(2)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异,的基解矩阵，那么，这个方程组为,证明 设所求方程组为,则,故,解,所求方程组为,性质1,性质2,定理9,是(1)的任一解，,是齐次方程组(2)的解，因此存在常列向量 c ，,使得,证明,常数变易法,是（1）的解，则,关键：,求 (2)的基解矩阵和(1)的特解。,假设(2)的基解矩阵为 ，设,而,，代入得,容易验证此即为方程组（1）的解。,定理10,(3),(1) 通解,是(1)的解，且满足初始条件,例6 试求初值问题,解 由例4知，,对应的齐线性微分方程组的基解矩阵。,为求(*)的解，根据公式(27)，需求出(s)的逆,由(27)知,
