1、6.1 线性微分方程的一般理论,一 一阶线性微分方程组的向量表示,对一阶线性微分方程组:,则(5.1)可写成,(1)定义1,(2)定义2,初值问题,解:,显然,化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.,解:,设,则有,即有,也即,注:,每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立.,如:,方程组,不能化为一个二阶微分方程.,二、存在唯一性定理,1 存在唯一性定理,2 n阶线性微分方程的解存在唯一性定理,推论,一阶线性微分方程组:,称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.,非齐线性微分方程组.,三 一阶线性微分方程解结构理论,一 齐次线性微分方程组,1 叠加原理,定理
2、2,证明:,则有,所以,2 函数向量组线性相关与无关,证明:,3 函数向量组线性相关与无关的判别准则,(1) Wronsky行列式,由这n个向量函数所构成的行列式,称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式,(2)定理3,证明:,相关,(3)定理4,证明:,“反证法”,则,现在考虑函数向量,由定理2知,由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有,矛盾,注1:,注2:,(4)定理5,(5.15)一定存在n个线性无关的解.,证明:,由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件,且,4 通解结构及基本解组,定理6,证明:,由已知条件,又因为,从而可知,即它们构成n维线性空间
3、的基,现在考虑函数向量,由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有,即,推论1,(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.,基本解组:,为(5.15)的一个基本解组.,注1:,(5.15)的基本解组不唯一.,注2:,(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.,注3:,由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.,5 解矩阵与基解矩阵及性质,(1)定义,则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.,则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.,基解矩阵-,以基本解组为列构成的矩阵.,注1:,行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.,如矩阵,注2:,解:,由于,又由于,证明:,证明:,于是有,由此可得,即有,解:,又由于,其通解为,二 非齐次线性微分方程组,1 非齐线性微分方程组解的性质,性质1,性质2,性质3,2 通解结构定理,定理7,这里C是确定的常数列向量.,证明:,由性质2知,即,这里C是确定的常数列向量.,
