1、1线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法, 给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法The General Theory of Linear Differential Equation Abstract：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutio
2、ns of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation,showing the readers the linear differential equation method of the general theory of reconciliation.KeyWords: Homogeneous linear differential equation;Lang yankees determinant;General solution;Basic se
3、t of solutions;Method of variation constant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1. 引言先讨论如下的 阶线性微分方程n， (1)11()()()nnnndxxdxatattftt其中 及 都是区间 上的连续函数.()1,2iat ftb如果 ,则方程(1)变为0f， (2)11()()()0nnnndxxdxatattt2我们称它为 阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1
4、)n为 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理 11 如果 及 都是区间 上的连续函数,()1,2)iatn (ftatb则对于任一 及任意的 , , , ,方程 (1)存在唯一解 ,0,tb0x 10x xt定义于区间 上,且满足初值条件a, , , . (3)0tx10dtx 110nndtx2. 齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程. (2)11()()()0nnnndxxdxatattt根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得
5、到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理 2(叠加原理) 如果 , , , 是方程(2)的 个解,则它们1xt2 kxtk的线性组合 也是(2)的解,这里 , , , 是任意12kcxttc 1c2 k常数.特别地，当 时，即方程(2)有解kn(4) 12nxctxtcxt它含有 个任意常数.n考虑定义在区间 上的函数 , , , ,如果存在不全为atb1t2 kt零的常数 , , , ,使得恒等式1c2 k120kcxttcxt对于所有 都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所tab给区间上线性无关.3有定义在区间 上的 个可微 次的函数 , , , 所atbk11xt2 kx
6、t做成的行列式 1212 1112,kkkkkWxtxtt xtttxttt 成为这些函数的朗斯基行列式.定理 3 若函数 , , , 在区间 上线性相关，则在1t2 ()nxtatb上它们的朗斯基行列式 .,ab0W证明 有假设知,存在一组不全为零的常数 , , , ,使得1c2 n， (5)12ncxttcxt atb依次对 微分此等式,得到t(6) 12 (1)(1)(1)20,.nnnntttcxcxttt 把(6)和(7)看成关于 , , , 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式1c n,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，12,nWxtxt则它的系数行列式必须为零,即 .
7、定理证毕.0Wt()atb定理 4 如果方程(2)的解 , , , 在区间 上线性无1x2 (nxtatb关,则 在这个区间的任何点上都不等于零,即12,nxtt 0W.()atb证明 采用反证法.设有某个 使得 .考虑关于 , ,0t()ab0t1c2, 的齐次线性代数方程组 nc4(7)10200 (1)(1)(1)0200.nnnncxttcxtcxtcxtcxt 其系数行列式 ,故(7)有非零解 , , , .先在以这组常数构造函数0Wt12 n, ,12xctxtcxt atb根据叠加原理, 是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解 满足初值条件t x, (8)(1)000nxtx
8、t但是 显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知0x,即t()atb, .120ncxttcxt atb因为 , , , 不全为零,这就与 , , , 线性无关的假设矛盾.定1c2 n12 ()nx理得证.根据定理 3 和定理 4 可以知道,由 阶齐次线性微分方程(2)的 个解构成的n朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理 5 2 阶齐次线性微分方程(2)一定存在 个线性无关的解.nn证明 线性微分方程(2)存在满足下列初始条件, , , ;10yx10 (1)0nyx, , , ;22x ()2, , ,0nyx0n (1)0nyx的
9、 个解n, , , , .1()2 ()nx0,ab又因 ,于是可知这 个解在 上线性无关.1020(),1nWyxy n,定理 63(通解结构定理) 如果 , , , 是方程(2)的 个线xt2 ()nxtn性无关的解,则方程(2)的通解可表为5, (9)12nxctxtcxt其中 , , , 是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.1c2 n推论 方程(2)的线性无关解的最大个数等于 .因此可得结论 : 阶齐次线n性微分方程的所有解构成一个 维线性空间.n方程(2)的一组 个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当 时称其为标准基本解组.01Wt3.
10、非齐次线性微分方程与常数变易法考虑 阶非齐次线性微分方程n, (1)11()()()nnnndxxdxatattftt易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质 1 如果 是方程 (1)的解,而 是方程(2)的解,则 也是_()xt xt _()xt方程(1)的解.性质 2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解.有如下定理:定理 7 设 , , , 是方程(2)的基本解组，而 是方程1xt2 ()nxt _1()xt(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为, (10)_12()ncttctx其中 , , , 是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解
11、.1c2 n证明 根据性质 1 易知(10)是方程(1)的解,它包含有 个任意常数,像定n理 6 的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的 ,因此,它是方程(1)的通解.现设 是方程(1)的任一解,则由性质 2, 是方程(2)的解,根据定()xt _()xt理 6,必有一组确定的常数 , , , ,使得1c:2 nc:,_12() nxtxttcxt:即6_12() ()nxtctxtcxt: 这就是说,方程(1)的任一解 可以由(10)表出,其中 , , , 为相应12 nc的确定常数,由于 的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有()xt:解.定理证完.设 , , ,
12、 是方程(2)的基本解组，因而1t2 ()nt12nxctxtcxt(11)为(2)的通解 ,把其中的任意常数 看作 的待定函数 ,这()i1,2)n(11)变为. (12)12()()()nxcttxctx将它代入方程(1)，就得到 , , , 必须满足的一个方程,但待定函1c2 数有 个,即 , , , ,为了确定它们,必须再找出 个限制条件,n1ct2 nt 1n在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的 个条件.对 微分等式(12)得t, 12 12()()()()()()n nxcctxctxtcxtcxtc 令， 12()()()0nttt 1
13、(3)得到. 12()()()nxctctxctx 1(4)对 微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数 的部分等于零,我们又得t i到一个条件 12()()()0nxtcxtcxtc 2(13)7和表达式. 12()()()nxctctxctx 2(14)继续上面做法,在最后一次我们得到第 个条件.1n(2)(2) (2)11 0n nttt 1(3)n和表达式(1)(1)(1) (1)2nnnnxcttcxtctxt 1(4)n最后,对 微分 得到t14n()()() ()12 1) (1)n nnnnxctcxtctxt (14)n现将(12), , , , 代入(1),并注意到
14、, , , 是1(4)2( (4n1t2 nxt方程(2)的解，得到(1)(1) (1)22 ()nnnxtcxtcxtcft (13)n这样,我们得到了含 个未知函数 的 个方程 , , ,i(, 132它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是 ,它(13)n 2nWxtxt不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得, ,()iict12n积分得,()iiittd,这里 是任意常数.将所得 的表达式代入(11)即得方程(1)i()ic1,2)n的解.11()()nniiixtxtdt显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数 i8以确定的值.例如,当取 时,即得解(
15、1,2)in 0i(1,2)n.1)niixtdt从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.例 1 求方程 的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本1cosxt解组为 , .costin解 应用常数变易法,设 为齐次方程的解.12()s()intct则 , 满足下列方程组:1()ct2 12 ()cos()i01incosttt解之得,1si()cott2()1积分得,1()lnstt2()t所以原方程的通解为 coslsinxttt参考文献 1 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版M,北京:高等教育出版社,2006. 2 焦宝聪,王在洪,时红延.常微分方程M,北京:清华大学出版社,2008.3 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版M,北京:高等教育出版社,2006.9
