1、9.1 微分方程的一般概念,我们在研究科学技术和经济管理中某些现象 的变化过程时 往往需要寻求有关的变量之间的函 数关系 但是 有时这种关系不容易直接建立起来 却可能建立起含有待求函数的导数或微分的关系 式 这种关系式称为微分方程 通过解微分方程才 能得出所要求的函数,解,引例1 求过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程,设所求的曲线方程是yy(x) 则根据题意有,其中y(1)表示x1时y的值,显然 这种函数的一般形式是yx2c (c为任意常数) 这是一簇曲线 簇中每一条曲线在点x处的切线斜率均为2x 将已知条件y(1)3代入上式 求出c2 则yx22 这就是所求过点(1, 3)且切线斜率
2、为2x的曲线方程,要求出满足y2x的函数 只需要求一次不定积分即可,解,引例2 已知质点在时刻t的加速度为t21 且当t0时 速度 v1、距离s0 求此质点的运动方程,设此质点的运动方程为ss(t) 则有,将st 21积分一次 得,s(0)0,s(0)1,st 21,再积分一次 得,由s(0)0可得c20,由s(0)1可得c11,举例,定义91(微分方程) 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程,说明,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,未知函数为多元函数 从而出现多元函数的偏导数的方 程 称为偏微分方程,举例,定义91(微
3、分方程) 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,微分方程的阶方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶,y2x是一阶微分方程,st 21是二阶微分方程,定义92(微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函 数为该微分方程的解,举例,定义92(微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解,yx2c和yx22都是y2x的解,都是st21的解,定义91(微分方程) 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程,微分方程的阶方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶,引
4、例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,定义92(微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解,定义93(微分方程的通解与特解)如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程 的阶数 则此解称为微分方程的通解 在通解中给予任意常数 以确定的值而得到的解 称为特解,举例,yx2c和yx22都是y2x的解,都是st21的解,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,定义92(微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解,初始条件用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件,引例1中的y(1)3是初始条件,引例2中的s(0)1 s(0)0都是初始条件,定义93(微分方程的通解与特解)如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数 则此解称为微分方程的通解 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解 称为特解,
