1、9.2 一阶微分方程,一、可分离变量的一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,二、齐次微分方程,一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是F(x, y, y)0 一阶微分方程的通解含有一个任意常数 为了确定这个 任意常数 必须给出一个初始条件 通常都是给出xx0时未知 函数对应的值yy0 记作,一阶微分方程的初值问题为:,或,一、可分离变量的一阶微分方程,如果方程F(x, y, y)0能写成形如,的形式 则方程F(x, y, y)0称为可分离变量的微分方程,形如g(y)dyf(x)dx 的一阶微分方程称为变量已分离的微分方程,可分离变量的微分方程,方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (
2、2)两边同时积分,一、可分离变量的一阶微分方程,其中C是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解,如果方程F(x, y, y)0能写成形如,的形式 则方程F(x, y, y)0称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量得,解,为简便,此类积分可不写绝对值号,两边积分得,ln ylnxlnC,这就是所给微分方程的通解,两边积分得,即,或,解,分离变量得,两边积分得,ydyxdx,令2Cr2(r为任意常数) 则上式写成x2y2r2 这就是所给微分方程的通解,几何意义:圆心在原点半径为任意实数的同心圆簇.,解,例3,分离变量，,两边积分,通解为,所求特解为,二、齐次微分方程,如果方程F
3、(x, y, y)0能写成形如,的形式 则方程F(x, y, y)0称为齐次微分方程,齐次微分方程,齐次微分方程举例,齐次方程的解法,提示,解,这是一个齐次方程,分离变量 得,ulnulnxC1,两边积分 得,或 uln(xu)C1,令yux 则原方程变为,解,这是一个齐次方程,分离变量 得,ulnulnxC1,两边积分 得,或 uln(xu)C1,令yux 则原方程变为,例5,解,即,两边积分 得,即,将 代入上式,得,故C=1,从而所求特解为,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,形如yp(x)yq(x)的方程称为一阶线性微分方程 方程yp(x)y0称为一阶线性齐次方程,一阶线性齐次方程
4、的解法,一阶线性齐次微分方程yp(x)y0是可分离变量的方程,一阶线性非齐次方程的解法(常数变易法),设一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的通解为,于是一阶线性非齐次微分方程的通解为,(C 为任意常数),先解齐次方程,分离变量,得,积分后得,令,把上式代入要解的非齐次方程后得,积分后得,于是原方程的通解为,本题也可直接代通解公式来解.,解,提示,例6 求微分方程ydx(xy3)dy0 (y0)的通解,将原方程改写为,由通解公式得,或 4xyy4C1 (C14C为任意常数),解1,将原方程改写为,由通解公式得,例6 求微分方程ydx(xy3)dy0 (y0)的通解,或 4xyy4C1 (C14C为任意常数),解2,将原方程改写为,例6 求微分方程ydx(xy3)dy0 (y0)的通解,作业:p.4102(1)(4)(7); 3(3)(6)4(1)(4)(7),
