1、二分法 二分法简述 二分法优 缺点 用途 迭代法的一般理论 不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法 一种圆周率计算方案 初值 x0 1 将一个计算过程反复进行称为迭代 迭代法是一类常见常用的计算技术 不动点迭代法 f x 0 若存在x 使得 则称x 为不动点 例2方程x3 4x2 10 0在 1 2 上有一个根 将方程变换成另一形式 1 n 0 1 2 n 0 1 2 2 fi inline 0 5 sqrt 10 x 3 x0 1 5 er 1 k 0 whileer 0 00001x fi x0 er abs x x0 x0 x k k 1 end fi inli
2、ne sqrt 10 4 x x0 1 5 er 1 k 0 whileer 0 00001x fi x0 er abs x x0 x0 x k k 1 end k 16x0 1 3652 k 6x0 1 3652 roots 1 4 0 10 ans 2 6826 0 3583i 2 6826 0 3583i1 3652 x3 4x2 10 0 构造有效的迭代格式选取合适的迭代初值对迭代格式进行收敛性分析 不动点迭代法需要研究的问题 证若或 显然有不动点 设 则有 记则有 所以 存在x 使得即 x 即为不动点 不动点迭代序列的收敛速度 定理2如果 满足条件 2 则对任意的x0 a b 迭代格
3、式产生的序列 xn 收敛到不动点x 且有 证 0 L 1 所以 故迭代格式收敛 不动点迭代序列的收敛速度 数列的r阶收敛概念 特别 1 收敛阶r 1时 称为线性收敛 2 收敛阶r 1时 称为超收敛 3 收敛阶r 2时 称为平方收敛 序列的收敛阶数越高 收敛速度越快 例4方程x3 10 x 20 0 取x0 1 5 证明迭代法 是线性收敛 证 令f x x3 10 x 20 绘出y f x 图形 可知方程的根x 1 5 令 利用Lagrange中值定理 有 其中 介于xn和x 之间 所以 由此可知 这一序列的收敛阶数为1 即迭代法是线性收敛 显然 在x 附近 定理3设x 是的不动点 且 而则p阶
4、收敛 由Taylor公式 其中 介于xn和x 之间 所以 故迭代法p阶收敛 数列收敛加速原理 线性收敛数列 Steffensen迭代法 Aitkin加速收敛序列 x0 1 f 1 n 1 k 0 error 1 t cputime whileerror 0 00001f f n n 2 x x0 f n error abs x x0 x0 x k k 1 endcputime tk 4 x 例2 3数列收敛于速度慢 time 0 3900k 50000ans 3 1416 迭代加速方法 time 0k 26ans 3 1416 x1 1 x2 x1 1 3 x3 x2 1 5 y0 x3 k 3 n 5 f 1 error 1 t cputime whileerror 0 00001y x3 x3 x2 2 x3 2 x2 x1 error abs y y0 y0 y k k 1 x1 x2 x2 x3 f f n n 2 x3 x3 f n endtime cputime tk 4 y
