1、2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,1,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,2,控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,3,第二章 控制系统的数学模型,1.定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部 其它变量之间关系的数学表达式,2.描述方法：输入-输出描述（端部描述） 常微分方程 传递函数 系统框图状态变量描述（内部描述） 状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统,一. 描述系统运动的数学模型,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,4,二. 建立系统数学模型的方法,解析法: 根据系统各变量所依据的
2、物理定律、化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入的表达式。,实验法：给系统施加一定的测试信号，依据系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模型，又称系统辨识。,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,5,2.1 列写系统微分方程的一般方法,一. 用解析法建立系统微分方程的一般步骤,分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（必要扰动）。 根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式（考虑相邻元件之间的影响）。 消去中间变量，求得
3、只含输出、输入变量及其各阶导数的微分方程。 对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方。,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,6,图2-1 -L-C电路,二. 例子,消去中间变量 ，则有:,解：由基尔霍夫定律得：,1、电气网络系统,例1：无负载效应的电路,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,7,图2-2 R-C滤波网络,消去中间变量i1 、 i2 得,或写作,例2：有负载效应的电路 列写2极相同形式RC串联电路组成的滤波电路的微分方程,对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的影响，由基尔霍夫
4、定律列出下列方程组：,解：,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,8,例3：求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型,解：由牛顿第二定律列出方程,即,式中：,- 阻尼器阻力,ky(t) - 弹簧拉力,- 为弹簧的弹性系数,2、机械位移系统,- 为阻尼系数,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,9,描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为,列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式,写微分方程式的一般
5、步骤,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,10,直流他励发电机,由电机学原理得：,图2-4 直流他励电动机电路图,把式（2-2）代入（2-1），则得,（2-1）,（2-2）,（2-3）,式中,假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线 ，即/ib =L。,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,11,2.2 非线性数学模型的线性化,一、可线性化的条件,变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在,二、微偏法,在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方
6、程代替原有的非线性方程。,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,12,设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-5所示，相应的数学表达式为,图 2-5 非线性特性的线性化,在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,13,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,14,三、举例,直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-5所示。,设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加U1，求其增量电势EG的变化规律。,图2-5 发电机的磁化曲线,若励磁电压增量
7、 ，则有,如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,15,由式（2-21）减式（2-19），式（2-22）减式（2-20）后得,式（2-23）、（2-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,16,2018/6/19,第二章 控制系统的数学模型,17,在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同,小结,随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。,由线性化引起的误差大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。,
