1、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 1第三讲 一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2 课时）一、目的与要求: 理解一阶线性非齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构, 理解常数变易法.二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构, 常数变易法.三、难点：常数变易法.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 课题引入本节研究一阶线性非齐次方程组(3.7)()dYAxF的通解结构与常数变易法.2. 通解结构定理 3.8 如果 是线性非齐次方程组(3.7)的解，而 是其对应齐次
2、方程组(3.8)()Yx 0()Yx的解，则 是非齐次方程组(3.7)的解.0()证明 这只要直接代入验证即可.定理 3.9 线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组 (3.8)的解.证明 设 和 是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式()Yx，()()dAxFx()()dYxAxF于是有()()ddYxYx()()()AxFAxYF陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 2()()AxYx上式说明 是齐次方程组(3.8)的解.()Yx定理 3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组 (3.8)的通解与方程组(3.7)的一
3、个特解之和. 即若 是非齐次方程组(3.7)的一个特解，()Yx是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组 (3.7)的通解为12(),()nYxx12()()nCxCYx这里 是任意常数.12,n证明 首先由定理 3.8，不论 是什么常数，(3.16)都是(3.7) 的解. 其次对于12,nC方程组(3.7)的任何一个解 ，由定理 3.9 知，是 对应齐次方程组的解. 于是()Yx()Yx由基本定理 3.6，存在常数 使得1,nC 12()()()()nYxYxCYx即 12()()()()nYxYxxY所以(3.16)是(3.7)的通解. 定理证毕.3. 拉格朗日常数变易法在第一章
4、我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解. 现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理 3.10 告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组 (3.8)的一个基本解组. 而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解.为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下：陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 311212212()()()()()nnnnyxyx其中每一列均为(3.8)的解 ，且 是(3.8) 的一个基本(),iYx
5、12(),nYxYx解组. 因此 .det()0W由定理 3.6 知，齐次方程组(3.8)的通解可表为,()YxC其中 C 为列向量 12nC它的各个分量 为任意常数. 现在求(3.7)的形如(1,2)iCn(3.17)()()YxCx的解，其中 12()()()nxC为待定向量函数. 将(3.17)代入(3.7)有()()()()xCxAxFx其中陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 411212212()()()()()nnnnyxyx因为 是(3.8)的基本解矩阵，所以有 . 从而，上式变为()x ()xAx(3.18)()()CF由于 是非奇异矩阵，故 存在，
6、于是 ()x1()x1()()CxF积分得 0()()xtdt为 中任一点代入(3.17)得到0xI()Yx0()()tFdt显然 是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式()Yx(3.19)0()()()xxCtFdt例 1 求解方程组 5cos,yt2y解 由 3.3 节例 4 知，向量函数组1,txey2txey是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军 521()()t txeeCy的特解，此时(3.18)的纯量形式为 21()()5cos0tttteCe解之得10()cos,3tte225()cos3tte从而15()(cosin),3tCtet221(cosin)3tCet最后可得该方程组的通解为 21()cosin3ttxtetyC本讲要点：1 非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解2 常数变易法适用于：先求出齐次通解 , 再令 为非齐次特解代入原方程确定 .()YxC()Yx ()Cx
