1、关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解2011年07月23 日网易博客安全提醒：系统检测到您当前密码的安全性较低，为了您的账号安全，建议您适时修改密码 立即修改 | 关闭 哥很低调！ 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物 关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 2011-07-23 21:18:33| 分类： 我的论文| 标签：|字号大中小 订阅 关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 隆建军 (攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061) 摘要：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解一般都是用“待定系数”法求解，但求解过程都比较繁琐，文章用初等积分
2、法直接来求其通解，该方法简单，方便，且适用范围广泛。 关键词：二阶常系数非齐次线性微分方程；通解；简单方法 中图分类号：O143 1 引言 众所周知，常系数线性微分方程有广泛的应用价值，比如，二阶常系数线性方程 （1） （其中 为已知实 常数 ， 为函数），就是最为常见的数学模型之一，包括很多高等数学教材 ，微分方程教材在内。在对方程（1）求解时都是通过考察相应的 特征 方程，采用待定系数或 常数 变易法，但其求解过程一般都比较繁琐，且还要受到方程（1）的自由项 的形式限制。 2005年陈利娅，李先富 用“初等积分法”给出了方程 的特解.本文将用“初等积分法”直接对二阶常系数非齐次线性微分方程
3、（）求通解，此方法简单，且不受 的形式限制，所以适用范围比较广泛。而且当 时，此方法就是对二阶常系数齐次线性微分方程 （2） 相关定义 为了使方程（1）降阶为一阶线性微分方程，不妨设 （3） 则方程（1）变为 作者简介：隆建军，男，（1981.6-）,中学二级教师,学士学位，研究方向：主要从事基础数学研究 即 （4） 由韦达定理和（3）可知 是一元二次代数方程： （5）的两个根。 定义2.1 以 为未知数的一元二次代数方程（5）称为二阶常系数齐次线性微分方程（2） 的 特征 方程，其 特征 方程（5）的二根 和 称为方程（2）的 特征 方程。 3主要结果及其证明 定理3.1 若 和 称为方程（
4、2）的两个 特征 根，则方程（1）的通解为 （6） 证明：由已知 和 为方程（1）的两个 特征 根，则方程（1）等价为方程（4），令 代入方程（4）并整理，得 和 。解之，即得方程（1）的通解 证毕。 由定理1知，只需通过两个不定积分（当（6）式中的积分可积时）即可求得方程（1）的通解，为了方便定理的使用，我们给出如下更一 般的结论。 定理3.2 若 和 称为方程（2）的两个 特征 根，则 （）当 是方程（2）的互不相等的两个实 特征 根时，方程（1）的通解为 （7） （）当 是方程（2）的相等的两个实 特征 根时，方程（1）的通解为 （8） （）当 是方程（2）的两个共轭复 特征 根时，方程
5、（1）的通解为 证明：（）当 是方程（2）的互不相等的两个实 特征 根时，将方程（1）的通解（6）进行分部积分，得 （）当 是方程（2）的相等的两个实 特征 根时，将方程（1）的通解（6）进行分部积分，得 （）当 是方程（2）的两个共轭复 特征 根时， ，再由欧拉公式，有 （9） （10） 将（9），（10）代入（7）式，整理可得方程（1）的通解为 证毕。 4实例 例1求微分方程 的通解。 解：该方程所对应的齐次方程的 特征 根方程为 ， 特征 根为 所以由定理2，得原方程的通解为： 例2求微分方程 的通解 解：该方程所对应的齐次方程的 特征 根方程为 ， 特征 根为 ，所以由定理2，得原方程
6、的通解为： 例3求微分方程 的通解 解：该方程所对应的齐次方程的 特征 根方程为 ， 特征 根为 ，所以由定理2，得原方程的通解为： 5定理3.2的推论 在定理3.2中，若令 ，则得到二阶常系数齐次线性微分方程（2）的通解： 推论5.1若方程（2）的两个 特征 根为 和 （）当 是方程（2）的互不相等的两个实 特征 根时，方程（2）的通解为 （）当 是方程（2）的相等的两个实 特征 根时，方程（2）的通解为 （）当 是方程（2）的两个共轭复 特征 根时，方程（2）的通解为 （其中 为任意 常数 ）。 证明：略 本文结论填补了微分方程教材上对二阶常系数（非）齐次线性微分方程的求解没有统一公式这一
7、空白，而且求解方法具有一般性，对学习微分方程的朋友将大有用处。 参考文献： 1同济大学应用数学系.高等数学（下册）（第五版）M.北京：高等教育出版社，2002. 2华中理工大学数学系. 高等数学（下册）M. 北京：高等教育出版社，1997. 3陈利娅，李先富.用初等积分法求方程 的特解J.四川理工学院学报(自然科学版)，2005（3）：88-90. 4丁同仁，李承治.常微分方程教程M. 北京：高等教育出版社，2001. 5罗亚中，陈仲.微分方程M.南京：南京大学出版社，1987. 6复旦大学数学系. 微分方程M.上海：上海科学技术出版社，1987. 7王建锋.求 的特解的一种方法J.数学理论与
8、应用，2003，（2）：83-84. On Solving the non-homogeneous linear equation of constant coefficient of the second order LONG Jian-jun (Dahe Middle School of Panzhihua,Sichuan,Panzhihua 617061) Abstract:In general,special solution of non-homogeneous linear equation of constant coefficient of the second order i
9、s obtained by the method of undetermined coefficient,but its process is too complicated.This article directly get its special solution by the method of elementary integrals,and the method is simple and has wider range. Ky words: non-homogeneous linear equation of constant coefficient of the second order; special solution;simple method
