多元积分一

1、多元函数积分学及其应用,第九章 重积分,第十章 曲线积分与曲面积分,引 言,在一元函数积分学中,我们知道定积,分是某种确定形式的和的极限.,极限的概念推广到定义在区域、曲线及,曲面上多元函数的情形，便得到重积分、,曲线积分及曲面积分的概念.,这种和的,将函数在这些区域、曲线及曲面上,的积分统称为函数在几何形体上的积分.,第一节 多元函数积分的概念与性质,1. 物体质量的计算,设有一质量非均匀分布的物体，其密度,是点M的函数,如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？,在定积分中，,一根线密度为,的细直棒AB，,它的质量可通过分割、近。

2、G.F.B.Riemann(1826-1866),只有在微积分发明 之后，物理学才 成为一门科学.只 有在认识到自然 现象是连续的之 后，构造抽象模 型的努力 才取 得了成功。-黎曼,多元函数积分学,定积分 (Definite Integral),二重积分 (Double Integral),三重积分 (Triple Integral),性质,直角坐标,极坐标,曲线坐标,直角坐标,柱面坐标,球面坐标,曲面坐标,应 用,二重积分的换元法 (Change of Variable in Double Integral),三重积分的换元法(Change of Variable in Triple Integral),容易验证，,柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为,球坐标(Sp。

3、多元函数积分学二（三重积分）,理学院基础数学部 朱捷,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式” 极限,一、三重积分的概念,方法1. 投影法 (“先一后二” ),微元线密度,二、 三重积分的计算（一）、利用直角坐标计算三重积分,方法2. 截面法 (“先二后一”),该物体的质量为,面密度,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,（二）、利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐。

4、第3节第二型 对坐标的 曲面积分 一 曲面侧的概念 双侧曲面 二 第二型曲面积分的概念 1 流量问题 设一稳定流动的不可压缩液体 密度均匀 不妨假设密度为1 以流速 2 定义 注 3 性质 3 方向性 三 第二型曲面积分的计算 例1 解 解 例2 解 另解 例3 解 例3 另解 第二型曲面积分的对称性 奇偶对称 例4 法1 法2 法3 例5 解 例6 解 。

5、,微,积,分,电,子,教,案,多元函数微积分,总复习,1、空间两点间距离公式,2、空间曲面方程,常见的曲面方程,球面,球心在（x0，y0，z0）半径为R.,一、空间解析几何,柱面（二次柱面）,平面,特殊平面：,过原点的平面：,平行于坐标轴的平面：,坐标平面或平行于坐标平面的平面：,特殊柱面：,圆柱面,母线平行于z轴, 准线是xy坐标面上以原点为中心、R为半径的一个圆,抛物柱面: x2=2py (p0),表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上的抛物线x2=2py(p0)的柱面.,表示母线平行于y轴, 准线是xz坐标面上的双曲线： 的柱面。,表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上。

6、第十五章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,多元实值函数的积分,推广,第一节,二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、二重积分的计算,二重积分:极坐标下的计算 1.小结 2.练习题,一、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,二重积分在极坐标下的计算公式,二、小结,练习题答案,。

7、6.2 多元函数的微积分主要内容：一 .多元函数的概念二 .二元函数的极限和连续三 .偏导数的概念及简单计算四 .全微分五 .空间曲线的切线与法平面六 .曲面的切平面与法线七 .多元函数的极值赂蛤棱谗陈枷鸯颈蔽扭逝祟瓣挞矮盏推粥侧耙欠庄跺梳村渴双川桥眼抓札多元函数的微积分多元函数的微积分1设 D是平面上的一个点集如果对于每个点 P(x， y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、 y的二元函数 (或点 P的函数 )，记为z=f (x， y)(或 z=f (P)二元函数的定义：其中 D称为定义域， x， y 称为自变量， z 称为因变量。

8、,第三章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻。

9、第七章,多元函数积分学,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,第一节,二 重 积 分,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,D,S,S : z = f (x,y),元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2 以平代曲,曲顶柱体的体积,i,D,S : z = f (x,y),3 积零为整,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,i,曲顶柱体的体积,D,S : z = f (x,y),3 。

10、1,6.2 多元函数的微积分,主要内容： 一.多元函数的概念 二.二元函数的极限和连续 三.偏导数的概念及简单计算 四.全微分 五.空间曲线的切线与法平面 六.曲面的切平面与法线 七.多元函数的极值,2,设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D， 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f (x，y)(或z=f (P),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量,类似地可定义三元及三元以上函数,当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数,一.多元函数的概念,3,二元函。

11、多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。,多元函数微分学,在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。,重点,多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。,难点,复合函数求导。

12、,第五篇 多元函数积分法,第十三章 第二类曲线积分与第二类曲面积分,第十二章 Riemann积分,第十二章 Riemann积分,第五篇 多元函数积分法,12.1 Riemann积分的概念和性质,一、几何形体的测度,本书所说的几何形体专指几何空间 R3中的可求长度的有限曲线弧段L、可求面积的有界曲面S及可求体积的有界空间闭区域V这样三种几何形体当然，空间R3的曲线弧段L还包含R2中的曲线弧段，即平面曲线弧段，以及R1中的直线段即有限闭区间a,b为其特例；R3中的有界曲面S还包含R2中的有界闭区域D为其特例我们以下所述的几何形体都是专指上述的几何形体为了叙述。

13、1 高等数学 下 2 硕士研究生入学统考数学试卷分为四种 工学 数学一 数学二经济学和管理学 数学三 数学四 数学一 高等数学 线性代数 概率论与数理统计数学二 高等数学 线性代数数学三 微积分 线性代数 概率论与数理统计数学四 微积分 线性代数 概率论 数学一内容比例 高等数学约56 线性代数约22 概率论与数理统计约22 3 第八章多元函数微分法及其应用 4 第一节多元函数的基本概念 一 区域。

14、多元函数积分小结 各种积分之间的联系 定积分 二重积分 积分概念的联系 曲面积分 曲线积分 三重积分 二重积分 1 直角坐标系下的计算 2 极坐标系下的计算 1 直角坐标系下的计算 1 x 型区域上的计算 2 y 型区域上的计算 3 二重积分的换序问题 1 x 型区域 2 y 型区域 3 极坐标系下的计算 1 极点位于积分区域外 2 极点位于积分区域边界上 3 极点位于积分区域内部 性质 三重积分。

15、多元函数积分学及其应用,第九章 重积分,第十章 曲线积分与曲面积分,引 言,在一元函数积分学中,我们知道定积,分是某种确定形式的和的极限.,极限的概念推广到定义在区域、曲线及,曲面上多元函数的情形，便得到重积分、,曲线积分及曲面积分的概念.,这种和的,将函数在这些区域、曲线及曲面上,的积分统称为函数在几何形体上的积分.,第一节 多元函数积分的概念与性质,1. 物体质量的计算,设有一质量非均匀分布的物体，其密度,是点M的函数,如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？,在定积分中，,一根线密度为,的细直棒AB，,它的质量可通过分割、近。

16、多 元积 分学 三（ 曲线 积分 ） 理 学 院基 础 数学 部 朱捷 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, s z y x f d ) , , ( ) 1 ( ) , , ( z y x g s z y x f d ) , , ( ) 2 ( k k n k k s f ) , ( lim 1 0 L s y x f d ) , ( 如果 L 是闭曲线 , 则记为 . d ) , ( L s y x f 定 义 对 弧 长 的 曲 线 积 分 一 、 对 弧 长 的 曲 线 积 分 2 1 d ) , , ( d ) , , ( s z y x f s z y x f s z y x f d ) , , ( s z y x g d ) , , ( t t t t t f s y x f L d ) ( ) ( ) ( , ) ( d ) , ( 2 2 对 弧。

17、7-1 空间直角坐标系 与二次曲面,主要内容：,空间直角坐标系概念。二次曲面简介。,一、空间直角坐标系,1.空间直角坐标系的概念,过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并取相同的长度单位，这三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，各轴间的顺序满足右手法则，这就是空间直角坐标系。(如左图),图中，O称为坐标原点，每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面。x轴与y轴所确定的坐标面称为xoy坐标面，类似地有yoz坐标面、zox坐标面。它们互相垂直。三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限，共八个卦限。 (如下图。

18、高等数学,第八章多元函数积分学,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,问题的提出,曲顶柱体,播放,求曲顶柱体的体积采用 “近似、求和、”的方法,求曲顶柱体体积的方法：,分割、近似、求和、极限。,步骤如下：,1. 分割,2. 近似,3. 求和,4. 极限,8-1二重积分的概念、性质,概念一. 两个实际问题1. 曲顶柱体的体积,方法：分割近似求和极限分割：将区域D分成n个小区域,近似：小柱体体积,求和：,8-1二重积分的概念、性质,极限：,2平面簿片质量,二.重积分的定义,定义1：设f(x,y)是定义在闭区域D上的二元连续函数， 将D 任意分割。