1、多 元积 分学 三( 曲线 积分 ) 理 学 院基 础 数学 部 朱捷 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, s z y x f d ) , , ( ) 1 ( ) , , ( z y x g s z y x f d ) , , ( ) 2 ( k k n k k s f ) , ( lim 1 0 L s y x f d ) , ( 如果 L 是闭曲线 , 则记为 . d ) , ( L s y x f 定 义 对 弧 长 的 曲 线 积 分 一 、 对 弧 长 的 曲 线 积 分 2 1 d ) , , ( d ) , , ( s z y x f s z y x f s z y x f d
2、 ) , , ( s z y x g d ) , , ( t t t t t f s y x f L d ) ( ) ( ) ( , ) ( d ) , ( 2 2 对 弧 长 的 曲 线 积 分 的 计 算 法 基本思路: 计 算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 是 定义在光滑曲线弧 则 曲线积分 求 曲线积分 如果曲线 L 的方程为 则有 如 果 方 程 为 极坐标 形式: ), ( ) ( : r r L 则 ) sin ) ( , cos ) ( ( r r f 推广: 设 空 间 曲 线 弧的 参数方 程为 ) ( ) ( , ) ( ), ( : t t z t y t
3、x 则 s z y x f d ) , , ( t t t t d ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x x d ) ( 1 2 d ) ( ) ( 2 2 r r b a x x f ) ) ( , ( ) ) ( ), ( , ) ( ( t t t f都存在, 在有向曲线弧 L 上 对 坐 标 的 曲 线 积 分, L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( k k k x P ) , ( k k k y Q ) , ( n k 1 0 lim 则 称此极限 为函数 或 第 二 类 曲 线 积 分. 其中, L 称为 积 分 弧 段 或 积分曲线 . 称为被积函
4、数 , 记作 二、 对 坐 标 的 曲 线 积 分 L x y x P d ) , ( , ) , ( lim 1 0 n k k k k x P L y y x Q d ) , ( , ) , ( lim 1 0 n k k k k y Q 若 为 空 间 曲 线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称 为对 y 的 曲线积分. 若记 , 对 坐 标 的 曲线 积分也 可写作 ) d , (d d y x s L L y y x Q x y x P s F d ) , ( d ) , ( d ) , , ( , ) , , ( , ) , , ( ( ) , , ( z y x R z y
5、x Q z y x P z y x F ) d , d , (d d z y x s 类似地, 性质 (1) 若 L 可分成 k 条 有 向 光 滑 曲线 弧 L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( k i L i y y x Q x y x P 1 d ) , ( d ) , ( (2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则 L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( 则 定 积 分 是 第二类曲线 积分的特例. 说明: 对 坐 标 的 曲 线积 分必须 注意积 分弧段 的方向 ! 对 坐 标 的 曲 线 积 分 的 计 算 法 定理: 在有向
6、光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 ) ( ) ( t y t x , : t 则 曲线积分 ) ( ), ( t t P ) (t ) (t t d ) ( ), ( t t Q 连续, 存在, 且有 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 已知L 切 向 量 的方 向余弦 为 s y s x d d cos , d d cos 则 两类曲线积分有如下联系 L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( s s y s x Q s y s x P l d cos ) ( ), ( cos ) ( ), ( 0 L s y x
7、 Q y x P d cos ) , ( cos ) , ( L D 区域 D 分类 单 连通区域 ( 无 “洞” 区 域 ) 多 连通区域 ( 有 “洞” 区 域 ) 域 D 边界L 的 正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是 由 分 段 光滑 正向曲 线 L 围成, 则有 L D y Q x P y x y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上 具 有 连 续一 阶偏导 数, L D y x y Q x P y x Q P d d d d 或 三、 格 林 公 式 平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 等 价 条 件 定理2. 设D 是单连通
8、域 , 在D 内 具 有 一 阶 连 续偏导 数, (1) 沿D 中 任 意 光 滑闭 曲线 L , 有 . 0 d d L y Q x P (2) 对D 中 任 一 分 段光 滑曲线 L, 曲线积分 (3) y Q x P y x u d d ) , ( d (4) 在 D 内每一点都有 . x Q y P L y Q x P d d 与路径无关, 只 与 起 止 点 有关. 函数 则 以 下 四 个 条件等 价: 在 D 内 是 某 一 函数 的全微分, 即 说明: 根据定理2 , 若在某区域内 , x Q y P 则 2) 求曲线积分时, 可 利 用 格 林公 式简化 计算, 3) 可用
9、积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: D y x ) , ( 0 0 及 动点 , ) , ( D y x y y x Q x y x P y x u y x y x d ) , ( d ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 x x x y x P 0 d ) , ( 0 或 y y y y x Q y x u 0 d ) , ( ) , ( 0 则 原函数为 y y y y x Q 0 d ) , ( x x x y x P 0 d ) , ( 若 积 分 路 径 不是闭曲线, 可 添加辅助线; 取 定点 1) 计 算 曲 线 积 分时, 可 选
10、 择 方 便 的积分 路径; y x 0 y 0 x O x y例1 设 为 椭 圆 , 其 周 长 记 为a ,则 例2 计算 其中 例3 求1/8 球面 的 边 界 曲 线 的 重 心 , 设 此 曲 线 的 线 密 度 . 例4 计 算 圆 柱 面 被 球 面 所 截 下 的 部 分 的 面 积. 例5 计算 , 为 例6 计算 ,其中 由点 到 的 一 段 弧. 上 由 原 点 到A (4 ,8 ) 的 一 段 弧. 例7 设 函 数Q(x,y) 在xoy 面 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 , 且 对 任 意t , 恒 有 求Q (x ,y
11、 ). 例8 设 函 数f (x )在 内 具 有 连 续 的 一 阶 导 数 , 是 上 平 面 内 (y0 ) 有 向 分 段 光 滑 的 曲 线 , 设 起 点 (a ,b ) , 终 点 (c ,d ) , 记 (1 ) 证 明 曲 线 积 分 与 路 径 无 关; (2 )ab=cd 时 , 求I 的值. 例9 计算 其中 上由A(a ,0 ,0)至点B (b ,0 ,h ) 的 一 段 弧. 例10 设 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 , 其 中f(x) 具 有 连 续 的 一 阶 导 数 , 且 f(0)=0 ,则f(x) 等于 例11 在 半 平 面 上 表 达 式 是 否
12、 为 某 一 函 数u (x ,y ) 的 全 微 分 ? 若 是 , 求u (x ,y ) 例12 设f(x) 具 有 连 续 的 二 阶 导 数 , 且f(0)=0 , ,且 为 一 全 微 分 方 程 , 求f (x ) 即 全 微 分 方 程 的 通 解. 例13 设C 是xoy 平 面 上 的 光 滑 闭 曲 线 , 是 任 意 给 定 的 射 线n 的 外 法 向 量 , 证 明 例14 记 的 参 数 方 程 为 代 入 用 曲 线 积 分 算 平 面 图 形 面 积 的 公 式 ,则S 等于 . 例15 计算 其中 正 向 边 界 曲 线 。 例16 求 , 其 中a ,b 为
13、 常 数 ,L 为点A (2a ,0 ) 沿 曲 线 到 的弧 。 例17 计算 ,C 是曲 线 ,从Z 轴 正 方 向 看 去C 是 顺 时 针 方 向 。 例18 顶点P 沿 着 以AB 为 直 径 的 半 圆 周 从 点 A (1 ,2 ) 运 动 到 点B (3 ,4 ) 的 过 程 中 , 受 力F 的 作 用 ,F 的 大 小 等 于|OP|,F 的 方 向 与OP 垂 直 , 且与y 轴 正 向 夹 角 小 于90 ,求F 所 做 的 功W 。 ( 指 向 下 侧 ) 。 例19 在 变 力 的 作 用 下 , 质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 上第 例20 在 过 点 和 的 曲 线 族 中 求 一 条 曲 线L , 使 沿 该 曲 线 从O 到A 的 积 分 的 值 最 小 。 一 卦 限 的 点 , 问 取 何 值 时 , 所 做 功W 最 大 ? 并 求 出W 的 最 大 值 。 例22 证明 , 其中 L 为 的 弧 长. 例21 计算 且从Z 轴 看 去 ,C 是 逆 时 针 。