1、,微,积,分,电,子,教,案,多元函数微积分,总复习,1、空间两点间距离公式,2、空间曲面方程,常见的曲面方程,球面,球心在（x0，y0，z0）半径为R.,一、空间解析几何,柱面（二次柱面）,平面,特殊平面：,过原点的平面：,平行于坐标轴的平面：,坐标平面或平行于坐标平面的平面：,特殊柱面：,圆柱面,母线平行于z轴, 准线是xy坐标面上以原点为中心、R为半径的一个圆,抛物柱面: x2=2py (p0),表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上的抛物线x2=2py(p0)的柱面.,表示母线平行于y轴, 准线是xz坐标面上的双曲线： 的柱面。,表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上的椭圆: 的柱面。
2、,椭圆柱面:,双曲柱面:,旋转曲面,椭圆,绕x轴旋转椭球,截痕法:为了了解曲面的形状.,用 、 、 截曲面得到的曲线可以判别曲面的形状。,1、定义域：平面区域,2、几何意义：曲面,3、极限（二重极限）：,(1)(x,y)(x0,y0) 的方式是任意的；,(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、 f(x,y)在 (x0,y0)连续必须满足的条件：, f(x,y)在点 (x0,y0)处有定义；,二、多元函数（二元函数）,二元初等函数在其有定义的区域内都是连续的。,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上必可取得它的最大值和最小值,在有界闭区域D上的二元连续函数f(x,
3、y),对任意介于函数最大值与最小值之间的数c，在D上必可找到一点(x0,y0)使得f(x0,y0)=c。,最大值和最小值定理,介值定理,1、定义：,2、几何意义： 二元函数在点M0 (x0,y0, f(x0,y0)处偏导数反映的是该函数在点M0沿 x轴和y轴两个方向的变化率.,3、求导法则：,一元函数的求导法则同样适用，此时只要把另一个自变量作为常数处理。,三、偏导数,4、高阶偏导数,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数,两二阶混合偏导数相等的条件： 二阶混合偏导数连续,5、多元复合函数与隐函数微分法,链式法则：,全导数,全微分形式不变性,隐函数的求导公式,例9 设 其中 f 可微，证明：,（08）,
4、解：,得证。,例10 设 其中 f 、g二阶可导，证明：,（05）,证明：,得证。,6、经济意义：,边际量,p2看成常量,即相关价格不变时,自身价格在p1的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;,p1看成常量,即自身价格不变时,相关价格在p2的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;,p2看成常量,即自身价格不变时,相关价格在p1的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;,p1看成常量,即相关价格不变时,自身价格在p2的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量.,偏弹性,E11称为A商品需求量Q1对自身价格p1的“直接价格偏弹性”，它表示相关价格 p2不变时，自身价格p1变动1%所引起的需求量
5、变动的百分数；,四、全微分,可微的条件,函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有连续的偏导数fx(x,y)、 fy(x,y),则函数f(x,y)在点(x,y)处可微,且dz= fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.,多元函数可微、偏导数存在与连续的关系.,偏导数存在且连续,函数可微,偏导数存在,连续,近似计算公式：,五、多元函数的极值和最值,1、极值存在的必要条件,一阶偏导数存在时，极值点的,（驻点）,极值点可以是驻点和偏导数不存在的点。,B2 -AC0, 则f(x0,y0)是极值,且,当A0 (或C 0)时, f(x0,y0)是极小值，,当A0 (或C 0)时, f(x0,y0)是极
6、大值;,B2 -AC0, 则f(x0,y0)不是极值;,B2 -AC=0, 则f(x0,y0) 是否为极值需进一步讨论才能确定.,2、极值存在的充分条件,有二阶连续偏导数，且,（驻点）,3、最值,驻点、偏导数不存在的点、定义区域边界上点的函数值比较。,4、条件极值（拉格朗日乘数法）,解出可能的极值点的坐标，再用以前的方法判断是否为极值点。,构造函数,解方程组,5、最小二乘法（求经验公式）,最小二乘法标准方程组：,例11 设两种产品的需求量 、 分别是其单价 、 的函数 、 总成本函数为 则如何定价，才能使利润最大？,（05）,解：,令,得唯一驻点,解：,利润极大,当定价为,利润最大。,例11
7、设两种产品的需求量 、 分别是其单价 、 的函数 、 总成本函数为 则如何定价，才能使利润最大？,（05）,例12 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式：（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。,（07）,解：,由,得唯一驻点,又因为利润函数在 处的二阶偏导数分别为：,所以利润函数在 处达到极大值，从而也是最大值。,（2）若广告费用为1.5万元，则要求利润函数在满足 条件下的极值。,作拉格朗日函数：,由,得
8、唯一驻点,由于是实际问题，驻点唯一，所以利润函数在处取得最大值。 即：广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大。,例13 某企业生产某产品需要A、B两种原料，当所用原料数量分别为x、y时，产量为 ， 现在用150元购买原料， A、B两种原料的单价分别为5元与2元，问购进两种原料各多少？可使生产的数量最多？,（08）,解：,作拉格朗日函数：,由,得唯一驻点,由于是实际问题，驻点唯一，所以产量在 处取得最大值。 即：购进A、B两种原料分别为20和25，可使生产的产量最多。,六、二重积分,1、定义：,2、几何意义：当f(x,y)0时, 二重积分是以区域D为底、以曲面z=f(x，y)为顶的曲顶柱
9、体的体积。,数乘性,线性性,3、基本性质,保序性,区域可加性,保号性, 1的积分,估值性,4、二重积分的计算,在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,Y型,X型, （二重积分中值定理）,设函数 在闭区域 上连续， 为 的面积，则在D上至少存在一点 使得,在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,(极点在区域外),(极点在区域边界),(极点在区域内),(极点被区域包围),多元函数微积分习题,应用：计算若干曲面围成的立体的体积；计算若干曲线围成的平面的面积。,例14 交换积分次序,（05）,（06）,交换积分次序后为： （ ）,（07）,交换积分次序后为： （ ）,（08）,例15 计算 其中D是圆,（05）,与x 轴所围区域的第一象限部分。,积分区域为：,例16 计算 其中D是圆,（06）,的第一象限部分。,积分区域为：,例17 计算,（07）,例18 计算 其中D是圆 围成,（08）,积分区域为：,
