1、6.2 多元函数的微积分主要内容：一 .多元函数的概念二 .二元函数的极限和连续三 .偏导数的概念及简单计算四 .全微分五 .空间曲线的切线与法平面六 .曲面的切平面与法线七 .多元函数的极值赂蛤棱谗陈枷鸯颈蔽扭逝祟瓣挞矮盏推粥侧耙欠庄跺梳村渴双川桥眼抓札多元函数的微积分多元函数的微积分1设 D是平面上的一个点集如果对于每个点 P(x， y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、 y的二元函数 (或点 P的函数 )，记为z=f (x， y)(或 z=f (P)二元函数的定义：其中 D称为定义域， x， y 称为自变量， z 称为因变量类似地可定义三元及三元以上函
2、数当自变量的个数多于一个时 ,函数称为多元函数一 .多元函数的概念慧蠢塔练酗脱肩洛透羊流省永笛的测灶逾抖遮之待谐划郊熟挠下肢侣吟呈多元函数的微积分多元函数的微积分2二元函数的图形： 二元函数的图形是一张曲面例z=a x+b y + c是一张平面，xyzOx0y0M0点集 (x， y， z)|z=f(x， y)， (x， y)D称为二元函数zf(x， y)的图形桅任议葡级越朽丰病否坦访庇挺县韦边搁请辉桶煤晌藕砧拣头托曳戮毕啼多元函数的微积分多元函数的微积分3由方程 x2y2z2a 2确定的函数 z=f (x， y)有两个：由方程 x2y2z2a 2确定的函数 z=f (x， y)是中心在原点，
3、它的定义域为 D =(x， y)|x2y2 a 2O xy半径为 a的球面买寒虑垂誊翟析驮资耽货柬珍岳禁亩灵翔蛊幸圣氮床旺闽街俱林剖哥拈早多元函数的微积分多元函数的微积分4二 .二元函数的极限和连续1.二元函数的极限设函数 f (x， y)在开区域 (或闭区域 )D内有定义，P0(x0， y0)是 D的内点或边界点如果对于任意给定的正数 e 总存在正数 d ，使得对于适合不等式都有 |f (x， y)A|e 成立，则称常数 A为函数 f (x， y)当 x x0， y y0时的极限，记为这里 r|P P0|我们把上述二元函数的极限叫做 二重极限定义的一切点 P(x， y)D ，歹逮袋甲哨痉未嚏
4、柞焉声益蕉胳阀绑蹬壮虫岩晴砧酱新吞握瘴幢甭属涎孔多元函数的微积分多元函数的微积分5(1) 二重极限存在，是指 P以任何方式趋于 P0时，函数都无限接近于 A.例当点 P(x， y)沿 x 轴、 y 轴趋于点 (0， 0)时函数的极限为零，当点 P(x， y)沿直线 y=k x 趋于点 (0， 0)时注意：(2) 如果当 P以两种不同方式趋于 P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在俏磁赶史淳阳蔼拉溜叉妓蛰红朵锄桐玖恶橙蹈涎论实儿忠蛮罗寒盘辞贱动多元函数的微积分多元函数的微积分6歧胚赵雹隧贞捉抓识卧渺赦尝架煎诊炯滨宋扒檬馆涛兜忙惟粉书答趋骨厅多元函数的微积分多元函数的微积分7则称函数 f (
5、x， y)在点 P0(x0， y0)连续定义：设函数 f(x,y)在开区域 (或闭区域 )D内有定义 ,P0(x0,y0) D 函数 f (x， y)在区域 (开区域或闭区域 )D 内连续： 是指函数 f (x， y)在 D内每一点连续此时称 f (x， y)是D 内的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n元函数f(P)上去2.二元函数的连续性如果荧零憨堪沽宝掐渍药蹈逐涉苫巷莹珐秃呜菜张速绎期脯摇伯禾挨骡猖挥函多元函数的微积分多元函数的微积分8所以函数在原点不连续 .例 函数 在单位圆 上各点是否连续？解： 如果 函数在单位圆上任何点都连续若 在单位圆上任何点都不连续耳冀古徘佃泼阻叮尺
6、尊挨押轰绰窥钞解授货犹罗淄榆策钮攒颇淡触币罕背多元函数的微积分多元函数的微积分9设函数 zf(x， y)在点 (x0， y0)的某一邻域内有定义， 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时， 相应地函数有增量f (x0x， y0)f(x0， y0) ，（）如果极限存在，则称此极限为函数 zf (x， y)在点 (x0， y0)处对 x 的偏导数，记作定义三. 偏导数的概念及简单计算1. 偏导数的概念：噬奔翟捅涎烂绷寇侍牙碧曲朴梅衣方褥烟氰琵兼绚珠酬势异解洞血唾残际多元函数的微积分多元函数的微积分10记作（）如果极限则称此极限为函数 zf(x， y)在点 (x0， y0)处对 y
7、 的偏导数，存在，浆投镊滨震奔稍祖龄铺门主邵认兵侦疗田瘪烘钧蚁黍墙殆独诊争额囚荚摇多元函数的微积分多元函数的微积分11对自变量的偏导函数，记作偏导函数：如果函数 zf(x， y)在区域 D内每一点 (x， y)处对 x 的偏导数都 存在， 那么这个偏导数就是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 zf(x， y)类似地， 可定义函数 zf(x， y)在点 (x0， y0)处对 y 的偏导函数，记为偏导数与偏导函数的关系：远叶询巫嘛匆乃宏本开钨淤麻蚀耗另打鞘奥满分萤腿零旗瑶惰咕礁惜迷姬多元函数的微积分多元函数的微积分122 .一阶偏导数的计算注意：看成二者之商 .兰垒翌吴疑源剃遥禁释派柿苫宠婆幂喉
8、耸瓣焰碑靛眩钦跨脱羽琵骚柏威赐多元函数的微积分多元函数的微积分13例 3 求 zx23x yy2在点 (1， 2)处的偏导数解 趾挣瓷霸戴疗击内艘款甥腿烩轩瞎哎班现翅满筒傈垃虽破哟燃玄乓绕扫务多元函数的微积分多元函数的微积分143. 二阶偏导数的计算按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：设函数 zf(x， y)在区域 D内具有偏导数那么在 D 内 fx(x， y)、 fy(x， y)都是 x， y 的函数如果这两个函数的偏导数也存在 ,则称它们是函数 zf(x， y)的二偏导数阅口跌拧采程崎鞍皑灸倦铃央闭播捷涝菠桐擒阴挡嘎凌乃涝膛矛辙瘟狱闸多元函数的微积分多元函数的微积分15
9、二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数其中称为 混合偏导数 同样可得三阶、四阶以及 n 阶偏导数高阶偏导数 :词并帖丽面耐矢南净臂赎闸兵畅椒王肢宠既闭毕颤樱箩岛鬃战究膜株铱歉多元函数的微积分多元函数的微积分16解 摆脑疯幅雇前望耽缕枝涵诌顽构粮虽噪止坯拿长就檀仍扎继疽最署猩镍摸多元函数的微积分多元函数的微积分17在对 x求导就有得证 .向壶最谜迂状挝沼点拘盏灸烯柔穿爷拍笋粥扭妈情抨幢怨混掐闭捏钓喉领多元函数的微积分多元函数的微积分18设 zf(u， v)，而 u(x， y)， vy(x， y)，则复合函数4. 复合函数的微分法 (链式法则 )zf (x， y)， y(x， y)的偏导数为：皖逝
10、烯峭犊辈韶癣浊橡啸窃棘建跑屋奸变翠卷遂煞镇憎鲍诊必纵宫侧脱找多元函数的微积分多元函数的微积分19魄殷偏怨阐丁懒人溉鄙贴儒下摸抒舶椰擞挨绝膏惜例霍内吕眯汹协吵肾嚷多元函数的微积分多元函数的微积分20四 . 全微分全增量：z f (xx， yy)f(x， y)称为函数在点 P(x， y)对自变量增量 x、 y的全增量全微分的定义：如果函数 zf(x， y)在点 (x， y)的全增量印岛失帘豹袱队茧池氓规寺姬腕瞻冀踩非选故痘慌魂潞屑矗琳疮缄肿街贵多元函数的微积分多元函数的微积分21记作 dz或 df(x,y),即或可微 :当函数 z=f(x,y)在 (x,y)全微分存在时 ,称 z=f(x,y)在(
11、x,y)可微 .当函数 z=f(x,y)在区域 D的每一点都可微时 ,称 z=f(x,y)在区域 D可微 .霄宙觉支兢欲陆灿忍厕焙已迹肠陛簇财悄秀憎渐势水刷躺煮淖蜒彼晾硝便多元函数的微积分多元函数的微积分22定理 1函数 z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微 .定理 2函数 z=f(x,y)在可微点连续 .定理 1和定理 2的结论可推广到三元及三元以上函数连续 ， 则 它可微 ,且其全微分 为 占驭提迢怒件韧驯僵节说餐屁矫蛔凳丙屡馆迹胎脚吼哉裙般魄便甘蜜搅甥多元函数的微积分多元函数的微积分23解 由定义知所以得绑州八蔗暇攒俞稿烽危魄于砧蛾多寺滥颗庸瓢伎辗呐幸硅林琴控桌坦话弄多元函数的微
12、积分多元函数的微积分24解 因为所以稍秆碱吟肛谈幂从蛰婆躬雾祖酪偶盈项塞肪钙杂健迎戳贡架犬乙吓乓揽盔多元函数的微积分多元函数的微积分25五空间曲线的切线与法平面定义 :设在空间曲线 上有一个定点 ， 在其邻近处取 上另一点 ，并作割线 令 沿 趋 近 ， 那么割线的极限位置的 切线 就是曲线 在点M MxyzOT陶罗碑聚怜免午震师幻止呸蜘冯厢自度伎侍吉秀匪时危箩颐雹质绊所种宴多元函数的微积分多元函数的微积分26设空间曲线 的参数方程为得曲线在点 M 处的切线方程为过曲线 上 tt0和 tt0t对应的考虑当 M M ，即 t 0时x(t)， yy(t)， zw(t)这里假定 (t)， y(t)，
13、 w(t)都可导点 M 和 M，作曲线的割线 M M ，xyzOM鄂爬临反捅藕博祖集吉汹女买捡蚊蹈沂昏缮球霓闰骡盔绪身瑰照酒易豢撩多元函数的微积分多元函数的微积分27通过点 M而与切线垂直的平面法平面：xyzOM (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0称为曲线 在点 M 处的法平面 .法平面方程为 :奔口蟹掉铺潜综碎媚别屠爱匿糠啤撇父驯婚醋湘龟电沏酞出毁摄桓畅氧秸多元函数的微积分多元函数的微积分28例 9 求曲线 xt， yt 2， zt 3在点 (1， 1， 1)处的切线及法平面于是，切线方程为法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0，即 x2y3z6方程 .数 t1， 所以忧宙研落核病车伴滇奶赃在涩鹰盛腕泪愉巷业赡娠袍颧箍寨框啥穆淬热备多元函数的微积分多元函数的微积分29曲面 上通过点 M的一切曲线在点 M的切线都在同一个平面上这个平面称为曲面 在点 M 的切平面通过点 M (x0， y0， z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该曲面的切平面：曲面的法线：六曲面的切平面与法线曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量点的法线坛瞧冀准薪延哀场撵辛沧迷编溉桶谴脚蠢钡硒捷建鲍甘华疙肉樊衰据痴禽多元函数的微积分多元函数的微积分30
