1、,第五篇 多元函数积分法,第十三章 第二类曲线积分与第二类曲面积分,第十二章 Riemann积分,第十二章 Riemann积分,第五篇 多元函数积分法,12.1 Riemann积分的概念和性质,一、几何形体的测度,本书所说的几何形体专指几何空间 R3中的可求长度的有限曲线弧段L、可求面积的有界曲面S及可求体积的有界空间闭区域V这样三种几何形体当然，空间R3的曲线弧段L还包含R2中的曲线弧段，即平面曲线弧段，以及R1中的直线段即有限闭区间a,b为其特例；R3中的有界曲面S还包含R2中的有界闭区域D为其特例我们以下所述的几何形体都是专指上述的几何形体为了叙述方便，我们如下定义 几何形体的测度：弧段
2、L的长度为 弧段L的测度 ；曲面S的面积称为曲面S的测度；空间闭区域V的体积称为空间闭区域V的测度应当说明，这里所说的测度是有所专指的，也是十分狭义的，仅仅是为了本书的叙述使用而已，严格的测度概念和系统的测度理论，将在现代数学基础一书中介绍,二、不均匀物体的质量,我们考察这样一个问题：,求一个不均匀物体的质量，设该物体的形状是几何形状体，该物体的密度函数f(P)是点P的函数，在上连续例如，如果我们考虑的物体是一个金属物体，其形状是几何形体，那么，当是直线段时，这个物体就是直线段状的金属丝；当是平面或空间的曲线弧段时，这个物体就是在平面或空间的弯曲的金属丝；当是平面闭区域时，这个物体就是平面图形
3、的金属片；当是空间曲面时，这个物体就是空间的弯曲的金属片；当是空间闭区域时，这个物体就是空间的一个金属块我们现在要对形状为空间形体的这些金属物体的质量问题进行统一研究按照定积分的办法，定义并计算不均匀物体的质量可以按以下步骤进行：,1）分割将几何形体任意分为可求测度的小的子块1,2,n，,将i的测度仍记为i（i=1,2,，n），子i中任意两点的距离的上确界上确界的定义详见P241第十九章第一节定义1称为子块i的直径令=max i的直径(1in)，叫做分割的模.,（2）近似直观上，物体的质量应存在，记为A子块i的质量记为Ai（i=1，2，n），在每个子块i上任取一点Pi（叫做介点），用f(Pi)
4、近似代替子块i上每一点的密度，则i的质量Aif(Pi)i (i=1,2,n),（3）求和将这n个子块的质量的近似值加起来，看作是整个物体的质量A的近似值，即,三、Riemann积分的定义,（4）取极限一般不论n多大，每个子块的测度多么小，上述各子块质量的近似值之和仍是物体质量A的近似值但若把分得足够细，则 与所求的质量A的误差可以任意小，并且，当分割无限细密下去，即当0时 的极限就是A，即可将形状为几何形体，密度函数为f()的不均匀物体的质量定义为,定理1 设函数f(P)在几何形体上连续，则f(P) 在上可积,定理2 设函数f(P)在几何形体上只有有限个 第一类间断点，则f(P)在上可积,四、
5、Riemann积分的存在性,五、Riemann积分的性质,性质,性质,性质,性质,性质,若在上,特殊地,则有,性质,性质,（ Riemann积分中值定理）,Riemann积分估值定理）,第三节 三重积分,利用直角坐标计算利用柱面坐标计算利用球面坐标计算小结、作业*重积分的换元法,一、利用直角坐标计算,解,解,解,解,解,二、利用柱面坐标计算,柱坐标与直角坐标的关系,三族柱坐标面：,圆柱面；,半平面；,平 面,柱坐标系中的体积元素：,解,知交线,另解,交线为,解,另解,三、利用球面坐标计算,圆锥面；,球 面；,半平面,三族球坐标面：,球坐标与直角坐标的关系,球坐标系中的体积元素,解,解,四、小结
6、,1、直角坐标下 dV=dxdydz, 柱坐标下 dV= dddz, 球坐标下 dV=r2sin drdd 。2、三重积分计算的基本方法化为累次积分（降维数：化为三次（定）积分、二次积分（一次定积分和一次二重积分）。 积分顺序与定限顺序相反先积分者后定限。3、关键选择适宜坐标系和累次积分顺序。根据： 1）积分域的形状（分块少，表达简便） 边界主要为直角坐标面（柱坐标面、球坐标面）直角坐标（柱坐标、球坐标）； 2）被积函数的形式（各层积分中的原函数易求） 含 x2+y2 柱坐标，含 x2+y2 +z2球坐标。4、利用对称性、轮换对等性等等化简计算。,五、 *重积分的换元法,1、定积分,2、二重积
7、分,3、三重积分,注：,基本要求：变换后定限简便，求积容易,例12,解,例13,解,第四节 重积分的应用,一、曲面的面积,设曲面S的方程为z=f(x,y)，如图12-22(a)，它是一张以曲线为边界的简单曲面（即平行于z轴的直线与S至多有一个交点），又设曲面S及曲线在xOy平面上的投影分别为有界闭区域Dxy和曲线L，并设函数f(x,y)在域Dxy上有一阶连续偏导数我们现在来计算曲面S的面积,基本方法找到 （以直角坐标为参数）的双参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。,二、物体的重心,设有一个占有空间区域的物体B，其密度(x,y,z)，现求它的重心坐标由力学知道可知，具有质量mi的离散质点系
8、Mi(xi,yi,zi)（i=1，2，n）的重心坐标公式为,现在将物体B分成n个小块，用Vi（i=1，2，n）表示第i个小块在空间所占的区域，Vi表示它的体积，在Vi上任取一点（xi,yi,zi），并认为该小块的密度是均匀的，且设密度为 (xi,yi,zi)，那么该小块的质量可近似地表示为,由质点系的重心坐标公式，物体的重心坐标可近似地表示为,三、转动惯量,设有质量为m的质点位于点(x,y,z），在力学中分别把Jx=m(y2+z2), Jy=m(z2+x2), Jz=m(x2+y2)叫做该质点关于x轴，y轴，z轴的转动惯量,设有空间物体占有区域V，密度为()，求物体关于三个坐标轴的转动惯量为了
9、利用质点的转动惯量公式，我们把区域V分成许多子区域Vi，设Pi是Vi内一点，当子区域Vi的直径很小时，可把Vi近似看作位于点Pi的一个质点，该质点的质量可近似地表示为mi(Pi)Vi，于是，mi关于z轴的转动惯量可以近似地表示为iJz(Pi)Vi(x2i+y2i)，整个物体关于z轴的转动惯量就是,同理有:,以上我们讲的计算曲面的面积、物体的重心和转动惯量，都是将物体细分先作和式，然后对和式取极限，最后得出积分表示的公式对这种处理问题的思想方法，应该在理论上、概念上很清晰但在方法熟练以后，中间有些步骤可以略去，直接用积分来表示，并算出结,第五节 第一类曲线积分,概念 性质 计算 小结、作业,一、
10、概念,被积函数,积分弧段,积分和,弧长元素,规定：,必要条件、,充分条件,同重积分,Pi,被积式,存在条件：,在分段光滑的曲线段上的积分各光滑曲线段上的积分之和。,二、性质,1、线性；,2、关于积分弧的可加性；,4、比较定理；,5、估值不等式；,6、中值定理。,同重积分,三、计算,基本方法找到 L的单参数方程，将曲线积分化为对该参数的定积分。,注意：对弧长的曲线积分化为定积分后，恒有： 上限 下限。,例1,解,例2,解,另解,另解,例3,解,例4,解1,解2,例4,解3,解4,例4,例5,解,另解,由轮换对称性, 知,四、小结,1.对弧长的曲线积分的概念与性质,2.对弧长的曲线积分的计算,基本
11、方法化为对参数的定积分；,基本技巧可用对称性、轮换对等性、曲线方程化简曲线积分。,注意：对弧长的曲线积分化为对参数的定积分 后，总有上限下限。,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 si 的符号可能为负吗？ds 呢？,第六节 第一类曲面积分,概念与性质 计算 对度量积分的应用 小结、作业,一、概念与性质,1. 概念,2. 性质,二、计算,基本方法找到 （以直角坐标为参数）的双参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。,则,例1,解,另解,例1,解,例3,解,例4,解,三、对度量积分的应用,1,1,.,例5,1,1,D,例5,*例6,解,解,解,解,由对称性知,所求引力为,第十三章 第二类曲线积分与
12、第二类曲面积分,本章介绍第二类曲线积分与第二类曲面积分这是多元函数积分学的重要内容，也是定积分理论向向量值函数的推广，在工程和科学上有重要地位本章还将介绍向量分析与场论的内容,第一节 向量分析,一、向量值函数的概念,第二类曲线积分与第二类曲面积分是根据实际问题抽象出来的数学概念这样的实际问题都涉及到点与向量的对应例如，质点在变力作用下的曲线运动，该曲线上的每一点都对应着作用在该质点的力，即对应一个向量我们有必要将函数的概念推广到向量值函数,定义1 设D是空间R3的一个非空子集D到空间R3的映射f叫做D上的一个3元3维的（向量值函数），又叫做3元3维的（向量值点函数），有时简称为（矢性函数）或（
13、函数）D叫做这个点函数的定义域，R(f)=A|A=f(M),MD叫做向量值函数f的值域,当点M在D上变化时，点M的第i个坐标xi也在一定范围变化，xi称为f的第i个自变量A叫做f的矢性因变量，简称变矢,模与方向不变的向量叫做常向量,通常的一元实数值函数，又叫做数性函数类似地可以定义2元2维、2元3维、3元2维的向量函数不赘述例如，设P（M），Q（M），R（M）为数性函数，则三维向量值点函数 A（M）=（P（M），Q（M），R（M）,表示了以原点为始点，（P（M），Q（M），R（M）为终点的向量因而当M变化时，方程组,x=P(M),y=Q(M),z=R(M) (1),便是这些终点在空间形成的曲线
14、l的参数方程该曲线l叫做向量值函数A（M）的矢端曲线，也叫做A（M）的图形通过A（M）的图形，可对它的变化有较直观的认识,二、向量值函数的极限,定义2 设向量值函数A（M）在点M0的某个去心邻域上有定义，A0为一常向量如果0,0，使得当MN(M0,)时，有|A(M)-A0|0时，与A(t)的方向一致，而当dt0时，则与A(t)的方向相反,五、向量值函数的积分,定义5 设在区间I上有B(t)=A(t)，则称向量值函数B(t)是向量值函数A(t)在区间I上的一个原函数,同数性函数的原函数一样，可以证明，如果B(t)是A(t)的一个原函数，则A(t)的原函数的一般表达式是B(t)+（10）其中，是任
15、意常向量 ,定义6向量值函数A(t)在区间I上的原函数的一般表达式（10）称为A(t)在区间I上的不定积分记为,第二节 场的概念,一、场,在宇宙空间里存在各种各样的场，不管是哪一种场，一旦被人们发现和利用，科学事业和人们的生活都随之而起巨大变化例如，电磁场的变化规律被发现，人们就可以利用电磁波来传递讯息；引力场的变化规律被掌握，人们就可以利用来发射人造地球卫星因此，研究场的特征，利用场的规律造福于人类，一贯为人们所重视,什么叫场？简单地说，如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在该空间里确定了该物理量的一个场如果这个物理量是数量，就称这个场为数量场（或标量场
16、）；若是向量，就称这个场是向量场例如，温度场、密度场、电位场等均为数量场；而力场、速度场等为向量场,我们还限制这里讨论的场是稳定场，即场中之物理量在各点处的对应值不随时间而变化此外，当前述的部分空间在一个平面上时，称这样的场为平面场,场的研究总是离不开数学发现场的规律常常要借助数学的推演数学成为人们研究场的有力工具之一例如，由场的定义可知，从数学上看，分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的点函数u=u(M)当取定了空间直角坐标系以后，它就成为点M坐标的三元函数了同样，分布在向量场中各点处的向量A，是场中之点M的向量值函数,今后，我们假定在空间中建立了直角坐标系，对于空间区域V上的函数 U=
17、u(m)=u(x,y,z) A=A(m)=A(x,y,z) =P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 可以分别看作是在V上确定的某个数量场和向量场的数学表示为了讨论的方便，今后均假设上述各实函数为单值连续且有一阶连续偏导数在不致发生混淆时，简称为数量场u=u(x,y,z)或数量场u，向量场A（M）=A（x,y,z）或向量场A,不难理解，对于平面场，还可以类似简称为数量场u=u(x,y)和向量场A=A（x,y）,二、数量场的等值面,设有数量场u=u(x,y,z),C是一常数，则由方程u(x,y,z)=C所表示的曲面称为这个数量场的一个等值面，例如，温度场中的等值面，就是由温度
18、相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等位面，等等 在平面场u=u(x,y)中，具有相同数值C的点，就组成此数量场的等值线u(x,y)=C，,例如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线等等 数量场的等值面客观地将空间分层，而等值线则将平面场分层，因此，可以帮助我们直观地了解场中物理量的分布状况,三、向量场的向量线,为了直观地表示向量场A=A（M）的分布情况，我们引入向量场的ZZ(Q向量线ZZ)这个概念所谓向量场的向量线，就是这样的曲线，在它上面的每一点处，曲线均与向量场在该点的向量A相切例如，静电场中的电力线，磁场中的磁力线，流速场中的流线等等利用向量曲线能更直观
19、地表现向量场的规律如果作出通过向量场中某一曲面S上所有的向量线，那末这些向量线的全体组成一个管状区域称为向量管，见图,第三节 第二类曲线积分,问题的提出概念与性质计算两类曲线积分的联系小结、作业,一、问题的提出,实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,作积,精确值,求和。近似值,求和、取极限,二、概念与性质,性质,即：对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、计算,基本方法找到积分路径 L的单参数方程，将第二类曲线积分化为对该参数的从起点参数到终点参数的定积分。,例1,解1,例1,解2,解3,解,例2,解,例3,L正方向上的单位切向量,四、两类曲线积分的联系,例4,解,*例5,解,五、小
20、结,1对坐标的曲线积分的概念与性质（路径反向 ，积分反号）。,2对坐标的曲线积分的计算,3两类曲线积分之间可以相互转化。,基本方法化为对参数的定积分；,基本技巧用对称性、轮换对等性（注意积分路径方向的变化）、曲线方程化简积分。,注意：对坐标的曲线积分化为对参数的定积分后，总有下限为起点参数，上限为终点参数。,第四节 曲线积分与路径无关的条件,一、格林公式,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时，区域D总在左边。,*证明,例1.,解,例2.,解,例3,二、四个等价结论,如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都于D， 则称D为单连通区域； 否则称为复连通区域。,复连通区域,单连通区域,1、平面区
21、域连通性的分类,推论,2、用格林公式导出的四个等价结论,*证,例4.,解1,解2,例4.,解3,问：,例4.,例5.,解,注,*再解例4：,解,解,(注意格林公式的条件),三、小结,格林公式建立了第二类曲线积分与二重积分的联系；格林公式及其推论给出了求曲线积分的新方法；注意格林公式及其推论的条件。,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,第五节 第二类曲面积分,概念与性质 计算 两类曲面积分的联系 小结、作业,一、概念与性质,1、概念,双侧曲面：,单侧曲面：,x=x(y,z)、,莫比乌斯（Mbius）带。,y=y(z,x)、,双侧曲面的一侧称为有向曲面。,比如，函
22、数曲面 z=z(x,y)、,有向曲面的投影:,闭曲面。,类似可定义,物理意义:,2、性质:,二、计算,有向投影元素,面积元素,注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。,解,另解,例2,解,*例3,解,三、两类曲面积分的联系,两类曲面积分之间的联系,解,解,另解,三、小结,1. 概念；,4. 计算（注意：与侧的选择有关）；,2. 性质：,3. 物理意义；,积分曲面反向，积分反号；,5. 两类曲面积分的关系。,第六节 曲线积分、曲面积分与重积分的关系,一、斯托克斯(stokes)公式,是有向曲面 的边界曲线的正向,右手规则：,Stokes公式可写成,*证,思路,曲面积分,1,二重积分,曲线积分,2,
23、1,平面有向曲线,2,空间有向曲线,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分之间的关系.,解1,直接计算,解2,解3,解,则,二、*等价结论,推论,同格林公式推论。,用法：,四、小结,3斯托克斯公式及其推论应用的方法,2斯托克斯公式的实质,1斯托克斯公式,（注意条件）,一、高 斯 公 式,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲面积分之间的关系.,*证,同理,证毕,解1,解2,使用Guass公式时应注意:,解,另解,证, 拉普拉斯(Laplace)算子,格林第一公式,二、*等价结论,对空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则
24、称G是空间二维单连通区域;,如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通二维单连通,一维单连通非二维单连通,一维不连通二维单连通,推论,同格林公式。,用法：,四、小结,3高斯公式及其推论应用的方法,2高斯公式的实质,1高斯公式,（注意条件）,作 业,习题10-6 1-(1)(3),第七节 数量场的梯度,一、方向导数,我们已经讲过多元函数在点M处沿某一方向的方向导数的概念和性质在实际问题中，有时还会碰到沿某一曲线的方向导数设有数量场（），过点M引任一有向光滑曲线C，设是从C上某点A算起的弧的弧长，C的方向为增加的方向(如图)从M点出发沿C的正向取一
25、点，若极限,存在，则称之为u(M)在点M处沿曲线C的方向导数，记为,二、梯度,先提出梯度的一个定义,定义1 若在数量场中的一点M处，存在这样的向量G，其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称向量G为函数u(M)在点M处的梯度，记作,gradu,显然，方向导数解决了函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率问题，而梯度的定义试图指出函数u(M)沿哪个方向的变化率最大，最大变化率是多少这是在实际问题中常常需要探讨的问题,下面讨论梯度在直角坐标系中的表示式在方向导数的公式,中，cos，cos，cos为l方向的方向余弦，也就是这个方向上的单位向量l cos c
26、os jcos k的坐标若记向量,由此可以知道G在l方向上的投影正好等于函数在该方向上的方向导数因此，当l方向与G的方向一致时，cos，方向导数取得最大值，这时增加得最快；当l方向与G方向垂直时，cos，方向导数l；当l方向与G的方向相反时，cos，方向导数取得最小值G，这时，减小得最快因此，可以提出梯度的另一个定义：,定义2 数量场(x,y,z)在点(x,y,z)处的梯度是向量,这便得到了梯度在直角坐标系的表示式，但是梯度本身与坐标系是无关的,梯度有两个重要性质：,其一，在前面讨论中已经提到即方向导数等于梯度在该方向上的投影，即,其二，数量场中每一点M的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数
27、u(M)增大的方向,由于数量场(M)中每一点都对应着一个梯度grad，故grad形成一个向量场，叫做数量场(M)的梯度场.,根据梯度在直角坐标系的表示式，求数量场的梯度是一种求导运算，容易验证它具有类似于求导运算的一些法则：,第八节 向量场的通量与散度,一、通量,向量场的通量定义如下：,定义 1 设有向量场A（），是场中某一有向曲面，为S上每一点处的指向S正侧的法向量，为A在上的投影，则曲面积分,叫做向量场A(M)向正侧穿过曲面S的通量通常，引用记号S=n叫做有向曲面元于是可将通量表为,二、散度,如前面所述，为了研究流体在一点M的邻域内的流动，就要尽量缩小含M点的区域此时，计算出的通量依赖于所
28、取的范围的大小由的体积V来刻划，从而与V的比值近似地表示流体在M点邻域外溢或内渗的速率为此，我们引入散度的定义,定义2 设有向量场A(M)，于场中一点M处作一包含点M的任一闭曲面S，设其所包围的空间域为，以表其体积，以表从其内穿出S的通量，若当以任意方式缩向点M时，比式,的极限存在，则称此极限为向量场A(M)在点M处的散度，记为divA，即,由此定义可见，向量场的散度实际上是通量相对于体积的变化率，是函数导数的一种推广当然，向量场的散度并不是某一些特殊函数的导数，因为并不是V的函数，当V的数值确定后，还不能惟一确定，随之S也就不能惟一确定定义中所述的极限存在应理解为以任意方式趋于M时，极限存在
29、且相等可见，散度概念比函数的导数概念更为复杂,散度divA为一数量，表示场中一点处对一个单位体积来说所穿出之通量，叫做该点处源的强度当divA 时，表示在该点处有散发通量之正源；当divA 时，表示在该点处有吸收通量的负源，而 divA 就表示在该点散发或吸收通量的强度；当divA 时，就表示在该点处无源,定义3 设有向量场A(M)P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k则,叫做此向量场在点M的散度,三、通量与散度,散度,通量,第九节 向量的环量与旋度,一、环量与环量面密度,定义1 设有向量场A(M),l是场中一条有向闭曲线，则曲线积分,叫做矢量场A(M)按所取方向沿曲线的环
30、量这里A是A在有向曲线的切向量上的投影,在直角坐标系中，设有向量场,因为,则环量表为,和研究向量场的散度一样，还需要研究当闭合路径无限缩小时，向量场在场内一点处的环量情况为此，取场内一点M，在点M处取定一个方向，再过点M作一微小曲面S，以n为其在点M处的法向量，记其面积为的边界为，的正方向与n满足右手法则(图13-24)，则比值,表示向量场F在S上的平均环量面密度,令S以任意方式向点M收缩，此时，如果极限,存在，则此极限叫做向量场F在点M处沿方向n的环量面密度,二、旋度,环量面密度依所取方向n而变，这与数量场的方向导数依所给方向而变的性质一样(在数量场中定义了一个梯度向量，在给定点处，梯度向量
31、的方向为最大方向导数的方向，其模为最大方向导数的值)类似地，在向量场中定义一个向量，其方向为取得最大环量面密度的方向，其模为最大环量面密度的值这就引出了旋度的定义,定义2 设向量场A（），若在点M处存在这样一个向量R，使得向量场A在点M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值恰为R，则称R为向量场A在点M处的旋度，记为rotA,三、环流量与旋度,解,由力学知道点 的线速度,注意,由此可看出旋度与旋转角速度的关系.,四、小结,1.对面积的曲面积分的概念与性质,2.对面积的曲面积分的计算,基本方法化为对参数的二重积分；,基本技巧可用对称性、轮换对等性、曲面方程化简曲面积分；,（将积分曲面表为函数曲面，化曲面积分为对自变量在投影区域上的二重积分）,3.对度量积分的几何应用*与物理应用。,
