1、多元函数积分学及其应用,第九章 重积分,第十章 曲线积分与曲面积分,引 言,在一元函数积分学中,我们知道定积,分是某种确定形式的和的极限.,极限的概念推广到定义在区域、曲线及,曲面上多元函数的情形，便得到重积分、,曲线积分及曲面积分的概念.,这种和的,将函数在这些区域、曲线及曲面上,的积分统称为函数在几何形体上的积分.,第一节 多元函数积分的概念与性质,1. 物体质量的计算,设有一质量非均匀分布的物体，其密度,是点M的函数,如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？,在定积分中，,一根线密度为,的细直棒AB，,它的质量可通过分割、近似、,求和、取极限 四个步骤化为定积分,平面薄板的质量,设它所占
2、的平面区域为D，其密度为,在D上连续，,类似于对直棒的处理,-“化整为零”,可按如下步骤计算它的质量.,【分割】,【近似】,把D任意划分为n个子域,示面积）,【求和】,【取极限】,（也表,薄板的质量,细棒的质量,均可由相同形式的和式极限来确定.,一般地，设有一质量非均匀分布在某一,几何形体G上的物体 (G可以是直线段、,平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),其质量可以按照以上四个步骤来计算：,把G任意划分为n个子域,示度量）,（也表,【分割】,【近似】,【求和】,【取极限】,上质量分布近似看作均匀,2. 多元函数积分的概念,定义,设G表示一个有界的可度量几何形体，,被积函数,元素,积分域,被积
3、式或 积分微元,积分号,积分和,当G为不同的几何形体时，对应的积分有不同的名称和表达式：,（1）当G是 x 轴上的闭区间a,b,称为定积分,（2）当G为平面有界闭区域（常记为D）时，,（3）当G为空间有界闭区域（常记为 ）时，,称为二重积分,称为三重积分,（4）当G为平面有限曲线段（常记为L）,或空间有限曲线段（常记为 ）时，,称为对弧长的曲线积分,称为积分路径，ds称为弧长元素.,（5）当G为空间有限曲面片（常记为）时，,称为对面积的曲面积分,称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.,例1,讨论二重积分,的几何意义.,解,D任意划分为n个子域,曲顶柱体,小平顶柱体体积,高底面积,小柱体体积无限累
4、加,得到以曲面为顶，,区域D为底的曲顶,柱体的体积V.,二重积分的几何意义,二重积分是曲顶柱体的体积的负值.,当被积函数,当被积函数,其投影D为底曲顶柱体的体积.,二重积分是曲面,3.多元函数积分的性质,多元积分的存在性与定积分类似：,性质1 （线性性质）,性质2（区域可加性）,定积分,二重积分,性质3,对于二重积分来说,（积分区间的长度）,定积分,性质4（比较性）,二重积分：,定积分,性质5 (估值性）,定积分,二重积分：,性质6（积分中值定理）,二重积分：,定积分,例2,估计积分,的值,其中D 是矩形域,解,在区域 D上,由于,有,(确定被积函数在D上的最大值和最小值),所以,又积分区域D
5、的面积是,由估值性质(5)，,多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同几何形体上的积分.,n重积分 (多元函数在n维空间中的有界闭区域上的积分),曲面积分（多元函数在有限曲面片上的积分）,曲线积分（多元函数在有限曲线段上的积分）,小 结,1.多元函数积分的定义,定积分,重积分,对弧长的曲线积分：,对面积的曲面积分：,几种几何形体上的积分：,D,闭区间 a,b,L,(平面有界闭区域),（平面有限曲线段）,（有限曲面片）,(空间有界 闭区域),(空间有限曲线段),二重积分,三重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,二、多元函数积分的性质,线性性、可加性、比较性、估值性、,积分中值定理.,若一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G，其密度为G上的函数 ，则在G的元素dg上，其质量应是 于是该物体的总质量为,二重积分的几何意义：,问题,质量是连续分布在空间区域 上，,答： 质量为,作 业,p.78 习题9-1,2; 4. (3); (4); 5. (1); (4),
