2.5 利用导数研究函数

1、利用导数研究函数的极值,高二数学,知识与技能目标：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤； 过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.,教学目标,教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.,教学重难点,利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其。

2、利用最值(极值)判断零点个数,数形结合法研究零点问题,构造函数法研究零点问题,已知函数， ， 且 在区间 上为增函数 1）求实数 的取值范围； 2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围,课堂练习：,。

3、利用导数研究函数的单调性 极值 最值 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数的导数与单调性的关系 函数y f x 在某个区间内可导 则 若f x 0 则f x 在这个区间内是 函数 若f x 0 则f x 在这个区间内是 函数 若f x 0 则f x 在这个区间内是 增 减 常数函数 2 函数的极值与导数 极值的概念 f x f x0 极大值点 f x f x0 极 小值点 判定f x0 。

4、高密四中蔡晓明,1.3.2 利用导数研究函数的极值,一、复习引入:,1、利用导数来研究函数y=f(x)的单调性的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数f (x) ;,解f (x)0得f(x)的单调递增区间; 解f (x)0？,二、新课函数的极值:,已知函数y=f(x)，设x0是定义域(a,b)内任一点, 如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0), 则称函数f(x)在点x0 处取极小值，记作y极小 =f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.,三、极值与导数的关系:,求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(3) 如果在根x0附近的左侧 f (x) 0, 右侧f (x) 0, 那么, f(x。

5、利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的极值,教材地位,利用导数研究函数的极值是高中数学人教B版，选修2-2第一章导数及其应用中第三节的内容,一、教材分析,熟练掌握利用导数求函数的极值，学会应用极值解决函数零点和最值问题。,通过对典型例题及其变式的探究解决过程，学会用函数解决方程和不等式的问题。树立转化、分类讨论和数形结合的思想。,在解决问题的过程中，培养思维的开放性、严谨性；在师生间平等和谐的交流中，在生生合作探究、展示点评中，激发学生学习数学的热情。,教学目标,教学重点、难点,高二年级的理科生前面有导数。

6、,2020高考二轮复习 利用导数研究函数零点问题,解读典例,例题1,(2019课标全国，20，12分),例题1,例题1,总结提升,例题2,例题2,总结提升,例题3,例题3,总结提升,对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论： 一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数； 二是分离参数，将问题转化为求ya和yf(x)的图。

7、1利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线 C： ，直线3211yxx:lya（1）若直线 与曲线 C 有唯一一个交点，求 的取值范围；（ 或 ）l 7316a（2）若直线 与曲线 C 有两个不同的交点，求 的取值范围；（ 或 ）（3）若直线 与曲线 C 有三个不同的交点，求 的取值范围 .（ ）l a解：令 得 或2(1)2yxx01,x2当 时， ；当 或 时， .100y所以 在 为减函数，在 ， 为增函数. ()gx,2)(,)(,)当 时，取得极大值 ；当 时，max136y2取得极大值 ；min7y（1）当 或 时，直线 与曲线 C 有唯一一个交点；3al（2）当 或 时，直线。

8、含参数函数的单调性问题是历年高考中的一个重要考点，同时也是学习中的一个难点。那么我们该如何应对这一类问题呢？,安徽高考真题展示：,课题导入,利用导数研究含参函数的单调性,1、能利用导数法判断含参函数的单调性2、掌握讨论含参函数单调性的几种常见分类标准,目标引领,1 、,2、求函数单调区间的一般步骤是,1、求定义域,2、求导f(x),3、令f(x)0,求出增区间，令f(x)0,求出减区间。,自学检测：,独立自学,探究： 1、在求导计算前应注意什么问题？ 2、导函数中影响符号变化的部分是什么函数？ 3、在利用导函数判别单调性时，应如何讨论？,。

9、第四节利用导数研究函数的图像曲线的绘制,主要内容：,一、函数的凸凹性,二、利用导数绘制函数的图像,在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.本节将研究这个问题.,一、曲线弯曲方向凹凸性,观察右图：,切线的斜率越来越大,二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐点.,观察右图：,切线的斜率越来越小,拐点,凸弧,分界点,凹弧,二、利用导数绘制函数的图像,两条铅直渐近线,斜渐近线求法:,提示与分析：,定义域不。

10、3.3.1利用导数研究函数的单调性,(第一课时),2、导数的几何意义：,3、求导数的步骤： （1）求平均变化率；（2）取极限，得导数.,复习准备,基本初等函数的导数公式可以分为四类:,第一类为幂函数:,第二类为三角函数:,第三类为指数函数:,第四类为对数函数:,请牢记!,函数 y = f (x) 在给定区间 (a,b) 上，当 x 1、x 2 (a,b) 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在(a,b) 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在(a,b)上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,。

11、利用导数研究含参函数的单调性,利用导数研究含参函数的单调性,知识回顾,单调性讨论中高频出现的函数,近几年高考中，利用导数考察函数的单调性是一个热点， 尤其是含参函数的单调性问题，这也是求函数单调性的一个难点。 在导数解答题中学生常感到不知怎么讨论，即分类讨论的标准不明确，本节课我们的学习目标就是掌握此类问题的解题策略，明确其分类讨论的标准。,考情分析,例一：,2、若有根是否在定义域内？,总结提升,综上：,合作探究,【我会做】,【我能做对】,例二：,【我会做】已知函数 ， 其中 ，求 的单调区间。,合作探究,变式：已知。

12、考纲要求 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次),1.函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是() A2 B0 C2D4 答案：C 解析：f(x)3x26x3x(x2)， f(0)2，f(2)2，f(1)2，f(1)0， f(x)的最大值为2.,预备训练,B,32012大纲全国高考已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c() A. 2或2B. 9或3 。

13、用函数的导数判断函数单调性的法则：,1如果在区间(a，b)内， ，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2如果在区间(a，b)内， ，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；,3.如果恒有 ，则 是?。,常数,充分不必要条件,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x）;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调 递增区间;解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,3.3.2 利用导数研究函数的极值,1、如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？2、y=f（x）在这些点。

14、1,2.5 复合函数的导数,一、复合函数的求导法则 二、例题及练习,2,基本求导数公式,3,定理 1,（链式法则）,复合函数的求导法则,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),4,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),5,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,6,例2,解,7,解,例4,例3. 设,求,解:,8,例5,解,例6,解,9,例7,解,为求导方便起见，对于函数积或商的对数的求导，一般先化成对数函数的和或差以后再求导可简化运算。,10,例8.,求,解:,例9,解,11,例10。

15、3.2.2 函数的极值与导数,高中数学选修1-1,复习引入,1.导函数的正负与原函数单调性的关系,“ = ”在离散点处取得,反之：,2. 利用导数来研究函数y=f(x)的单调性.其基本的步骤为:,学习新知,一、极值的概念极大值,学习新知,极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.,一、极值的概念极小值,（1）极值点不是点，而是自变量的值，极值是函数值.,(2)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(3。

16、一、预习检查,思考：可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？ 提示 可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f(x)0.,预习效果检查,3函数yx33x的单调递减区间是_,二、课程讲解,三、课堂练习,探究：,。

17、中国人民大学附属中学,1.3.2 利用导数研究函数的极值,一、复习与引入:,上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数f (x) ;,解不等式f (x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f (x) 0得f(x)的单调递减区间.,函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。,右图为函数y=2x36x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,二、新课函数的极值:,一般地,设函数y=。

18、利用导数研究函数的性质,主要内容：,一、函数的单调性，极值，最值,二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性,在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,单调性,导数的正负,函数及图象,切线斜率的正负,函数单调性与导数的。

19、2 5 1函数的单调性 2 5利用导数研究函数 定理2 6 所以函数y f x 在 a b 上单调增加 故 该定理只是函数在区间内单调增加 或减少 的充分条件 例2 33判定函数y x sinx在 0 2 上的单调性 解因为在 0 2 内 所以由定理1可知 函数y x sinx在上单调增加 例2 35 解 单调区间为 求函数单调区间的步骤 1 求函数的定义域 3 列表讨论各区间一阶导数的符号 得函。