1、利用导数研究函数的单调性 极值 最值 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数的导数与单调性的关系 函数y f x 在某个区间内可导 则 若f x 0 则f x 在这个区间内是 函数 若f x 0 则f x 在这个区间内是 函数 若f x 0 则f x 在这个区间内是 增 减 常数函数 2 函数的极值与导数 极值的概念 f x f x0 极大值点 f x f x0 极 小值点 判定f x0 是极大 小 值的方法 若x0满足 且在x0的两侧f x 的导数 则x0是f x 的极值点 如果在x0附近的左侧 右侧 即 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 即 那么f x0 是极小值
2、 f x0 0 异号 f x 0 f x 0 左正右负 f x 0 f x 0 左负右正 3 函数的最值与导数 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 2 必备结论教材提炼记一记 1 可导函数f x 在 a b 上是增函数 则有 在 a b 上恒成立 2 可导函数f x 在 a b 上是减函数
3、则有 在 a b 上恒成立 f x 0 f x 0 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用导数判断单调性的方法 利用导数求极值 最值的方法 2 数学思想 分类讨论 数形结合 3 记忆口诀 导数应用比较广 单调极值及最值 导数恒正单调增 导数恒负当然减 求出导数为零点 左增右减极大值 左减右增是极小 同增同减非极值 若是加上端点值 最大最小皆晓得 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若函数f x 在区间 a b 上单调递增 那么在区间 a b 上一定有f x 0 2 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则函数f x 在此区间内没有单调性 3 导数为零的点不一定是极值点 4 三次函数
4、在R上必有极大值和极小值 解析 1 错误 函数f x 在区间 a b 上单调递增 则f x 0 故f x 0是f x 在区间 a b 上单调递增的充分不必要条件 2 正确 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如f x 3 则f x 0 函数f x 不存在单调性 3 正确 导数为零的点不一定是极值点 如函数y x3在x 0处导数为零 但x 0不是函数y x3的极值点 4 错误 对于三次函数y ax3 bx2 cx d y 3ax2 2bx c 当 2b 2 12ac 0 即b2 3ac 0时 y 0无实数根 此时三次函数没有极值 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练
5、一练 1 选修2 2P27T4改编 函数f x ex 2x的单调递增区间是 解析 f x ex 2 令f x 0 解得x ln2 则函数f x ex 2x的单调递增区间为 ln2 答案 ln2 2 选修2 2P30练习BT4改编 若f x ax3 3x 2无极值 则a的范围为 解析 f x 3ax2 3 若a 0 则f x 0 f x 在R上增 f x 无极值 答案 0 3 真题小试感悟考题试一试 1 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 解析 选D 因为f x 在 1 上递增 所以f x 0恒成立 因为f x kx lnx 所以f
6、 x k 0 即k 因为x 1 所以 1 所以k 1 所以k 1 选D 2 已知函数y f x 的图象是下列四个图象之一 且其导函数y f x 的图象如图所示 则该函数的图象是 解析 选B 因为f x 0 x 1 1 所以f x 在 1 1 为增函数 又x 1 0 时 f x 为增函数 x 0 1 时 f x 为减函数 所以选B 3 已知e为自然对数的底数 设函数f x ex 1 x 1 k k 1 2 则 A 当k 1时 f x 在x 1处取到极小值B 当k 1时 f x 在x 1处取到极大值C 当k 2时 f x 在x 1处取到极小值D 当k 2时 f x 在x 1处取到极大值 解题提示
7、当k 1 2时 分别验证f 1 0是否成立 根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点 解析 选C 当k 1时 f x ex x 1 ex 1 此时f 1 0 故排除A B 当k 2时 f x ex x 1 2 ex 1 2x 2 此时f 1 0 在x 1附近左侧 f x 0 所以x 1是f x 的极小值点 考点1利用导数研究函数的单调性 典例1 1 已知f x 1 x sinx 则f 2 f 3 f 的大小关系正确的是 A f 2 f 3 f B f 3 f 2 f C f f 2 f 3 D f f 3 f 2 2 已知常数a 0 函数f x ln 1 ax 讨论f x 在区间 0 上的单
8、调性 解题提示 1 利用导数判断函数的单调性 2 先求f x 分a 1与0 a 1两种情况求解 规范解答 1 选D 因为f x 1 x sinx 所以f x 1 cosx 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 0 上是增函数 所以f f 3 f 2 2 f x 当a 1时 f x 0 x 0 此时f x 在区间 0 上单调递增 当0 a 1时 由f x 0得x1 x2 舍去 当x 0 x1 时 f x 0 故f x 在区间 0 x1 上单调递减 在区间 x1 上单调递增 综上所述 当a 1时 f x 在区间 0 上单调递增 当0 a 1时 f x 在区间 0 上单调递减 在区间 上单调递增
9、 互动探究 若本例题 2 中条件改为a R f x alnx 讨论f x 的单调性 解析 f x x 0 当a 0时 f x 恒大于0 f x 在定义域上单调递增 当a 0时 f x f x 在定义域上单调递增 当a0 x1 2对称轴方程为 且x1 x2 1 0 所以f x 在 0 上单调递减 上单调递增 上单调递减 综上所述 a 0时 f x 在定义域上单调递增 a 时 f x 在定义域上单调递减 a 0时 f x 在上单调递减 上单调递增 上单调递减 规律方法 1 用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当不等式f x 0或f x 0或f x 0求出单调区间 2 当方程f x 0可解时 确
10、定函数的定义域 解方程f x 0 求出实数根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来 把定义域分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 从而确定单调区间 3 不等式f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解时求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应基本初等函数 利用其图象与性质确定f x 的符号 得单调区间 2 根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x
11、0 来求解 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0 且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 变式训练 若函数f x x2 bx b b R 在区间 0 上单调递增 则b的取值范围为 解析 选A 因为f x f x 在区间 0 上单调递增 所以f x 0对任意的x 0 恒成立 即5x2 3b 2 x 0对任意的x 0 恒成立 即5x 3b 2 0对任意的x 0 恒成立 即b 对任意的x 0 恒成立 令g x x 0 则g x g 所以b 加固训练 1 在区间 1 1 内不是增函数的是 A y ex xB y si
12、nxC y x3 6x2 9x 2D y x2 x 1 解析 选D A选项中y ex 1 x R时都有y 0 所以y ex x在R上为单调递增函数 所以在 1 1 上是增函数 B选项中 1 1 而y sinx在 上为增函数 所以y sinx在 1 1 上是增函数 C选项y 3x2 12x 9 令y 3x2 12x 9 0得x 3或x0 得x 所以有y x2 x 1在 上为增函数 所以本题选D 2 已知函数f x x3 x2 ax 1 a R 求函数f x 的单调区间 解析 因为f x x2 2x a 二次方程x2 2x a 0的判别式 4 4a 当a 1时 0 f x 0 此时 是函数f x
13、的单调递增区间 当a0 f x 0有两个实数根x 1 和x 1 此时 1 1 是函数f x 的单调递增区间 1 1 是函数f x 的单调递减区间 综上 当a 1时 函数f x 只有单调递增区间 当a 1时 函数f x 的单调递增区间是 1 1 单调递减区间是 1 1 3 已知定义在R上的函数f x 2x3 bx2 cx b c R 函数F x f x 3x2是奇函数 函数f x 满足f 1 0 1 求f x 的解析式 2 讨论f x 在区间 3 3 上的单调性 解析 1 f x 6x2 2bx c F x f x 3x2是奇函数 得b 3 f 1 6 2b c 0 得c 12 所以f x 2x
14、3 3x2 12x 2 令f x 6x2 6x 12 0 得x 2或 1 所以单调递增区间为 1 2 单调递减区间为 3 1 2 3 考点2利用导数研究函数的极值 最值 知 考情利用导数研究函数的极值 最值是高考考查热点 几乎每年都会考查 有时会和函数的单调性 不等式 导数的几何意义等相结合命题 有时作为高考的压轴题出现 难度为中 高档 明 角度命题角度1 利用导数研究函数的极值 典例2 已知函数f x x2 ax3 a 0 x R 则f x 的极大值为 解题提示 根据求极值的步骤直接求解即可 规范解答 由已知 有f x 2x 2ax2 a 0 令f x 0 解得x 0或x 当x变化时 f x
15、 f x 的变化情况如下表 可知 当x 时 f x 有极大值 且极大值为f 答案 命题角度2 利用导数研究函数的最值 典例3 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解题提示 1 求导整理后 令导数大于零即可 2 求导整理后 注意讨论临界点与区间的位置关系 规范解答 1 f x 4x2 16x 16 定义域为 0 f x 令f x 0得0 x2 所以f x 的单调递增区间为 0 2 2 f x 令f x 0得x 或x f x 在定义域上的单调性为 0 上单调递增 上单调递减 上单调递增
16、从而需要讨论 与1及4的大小 当 4或 1 即a 40或 2 a 0时 f x 在 1 4 上单调递增 故f x 的最小值为f 1 4 4a a2 8 解得a 2 2 均需舍去 当 1且 4 即 10 a 8时 f x 在 1 4 上单调递减 故f x 的最小值为f 4 2 64 16a a2 8 解得a 10或a 6 舍去 当1 4 即 8 a 2时 f x 的最小值为f 因为f 0 所以不成立 当1 4 即 40 a 10时 f x 在 1 上单调递增 在 4 上单调递减 f x 的最小值为f 1 与f 4 中的一个 根据上面的 得均不成立 综上所述a 10 易错警示 解答本题有三点容易出
17、错 1 在定义域上 对于f x 的单调递增区间 0 中间容易用 符号连接 2 求最值时容易忽略对与区间 1 4 的讨论 3 在每一步讨论中 求得a值后 容易忽略对所求a值的验证 命题角度3 函数的极值和最值的综合问题 典例4 已知x 2是函数f x x2 ax 2a 3 ex的一个极值点 1 求实数a的值 2 求函数f x 在x 上的最大值和最小值 解题提示 1 由x 2是函数f x x2 ax 2a 3 ex的一个极值点可得到x 2是f x 0的根 从而求出a 2 求导函数 可得函数在x 1 x 2处取极值 比较极值与端点函数值 即可得到结论 规范解答 1 由f x x2 ax 2a 3 e
18、x可得 f x 2x a ex x2 ax 2a 3 ex x2 2 a x a 3 ex 因为x 2是函数f x 的一个极值点 所以f 2 0 所以 a 5 e2 0 解得a 5 经验证 a 5符合题意 2 由 1 知 f x x 2 x 1 ex 所以函数在x 1 x 2处取极值 因为f 1 3e f 2 e2 f 3 e3 所以函数f x 在x 上的最小值为f 2 e2 最大值为f 3 e3 悟 技法1 求函数f x 极值的方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求导函数f x 3 求方程f x 0的根 4 检查f x 在方程的根的左右两侧的符号 确定极值点 如果左正右负 那么f x 在
19、这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果f x 在这个根的左右两侧符号不变 则f x 在这个根处没有极值 2 求y f x 在 a b 上的最值的方法 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 通 一类1 已知a b为正实数 函数f x ax3 bx 2x在 0 1 上的最大值为4 则f x 在 1 0 上的最小值为 A B C 2D 2 解析 选A 因为a b为正实数 函数f x ax3 bx 2x 所以导函数f x 3ax2 b 2xln2 因为
20、a b为正实数 所以当0 x 1时 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 0 1 上是增函数 所以f 1 最大且为a b 2 4 a b 2 又当 1 x 0时 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 1 0 上是增函数 所以f 1 最小且为 a b 将 代入 得f 1 2 故选A 2 已知函数f x x3 bx2 cx d b c d为常数 在x 0 1 内取得极大值 在x 1 2 内取得极小值 则 c 3 2的取值范围是 解析 选D 因为f x x3 bx2 cx d 所以f x 3x2 2bx c 因为函数f x 在x 0 1 内取得极大值 在x
21、 1 2 内取得极小值 所以f x 3x2 2bx c 0在 0 1 和 1 2 内各有一个根 所以f 0 0 f 1 0 即在bOc坐标系中画出其表示的区域 如图 表示点A 3 与可行域内的点连线的距离的平方 点A 3 到直线3 2b c 0的距离为由12 4b c 0与3 2b c 0联立 可得交点为 与点A的距离为5 所以的取值范围是 5 25 故选D 3 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值 1 1 试求a b的值并求出f x 的单调区间 2 求在区间 2 2 上的最大值与最小值 解析 1 因为f x x3 3ax2 2bx 所以f x 3x2 6ax 2b 由已知
22、得f 1 0 则3 6a 2b 0 因为当x 1时有极小值 1 所以f 1 1 3a 2b 1 由 得a b 把a b 代入f x 中 得f x x3 x2 x 所以f x 3x2 2x 1 令f x 0 则f x 3x 1 x 1 0 若f x 0 即在 1 上 函数f x 单调递增 若f x 0 即在 1 上 函数f x 单调递减 2 由 1 知f x x3 x2 x f x 3x2 2x 1 令f x 0 则f x 3x 1 x 1 0 解得x 或x 1 因为f 2 10 f f 1 1 f 2 2 所以f x 在区间 2 2 上的最大值为2 最小值为 10 加固训练 已知函数f x x
23、 alnx a R 1 当a 2时 求曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 函数f x 的定义域为 0 f x 1 1 当a 2时 f x x 2lnx f x 1 x 0 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 由f x x 0知 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时
24、 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 规范解答2导数在研究函数中的应用 典例 设函数f x 1 求f x 的单调区间 最大值 2 讨论关于x的方程 lnx f x 根的个数 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 因为f x c 所以f x 1 2x e 2x 1分令 1 2x e 2x 0 解得x 当x0 f x 为单调增函数 当x 时 f x 0 f x 为单调减函数 2分 所以f x 的单调增区间为 单调减区间为 3分最大值为f e 1 c 4分 2 令g x lnx f x lnx xe 2x c x 0 5分 当x
25、1 时 lnx 0 则g x lnx xe 2x c 所以g x e 2x 2x 1 因为x 1 所以2x 1 0 0 于是g x 0 因此g x 在 1 上为单调递增函数 6分 当x 0 1 时 lnx1 x 0 于是 1 又因为2x 1 1 所以 2x 1 0 即g x 0 因此g x 在 0 1 上为单调递减函数 综合 可知 当x 0 时 g x g 1 e 2 c 8分当g 1 e 2 c 0 即c e 2时 g x 有两个零点 故关于x的方程 lnx f x 根的个数是2 11分 综上所述 当c e 2时 方程 lnx f x 根的个数为2 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 注意答题的规范性在解题过程中 注意答题要求 严格按照题目及相关知识的要求答题 如本例中的求单调区间 要写成区间的形式 另外还要注意 1 如果一个函数有多个单调区间 区间之间不能用 连接 可用 和 连接 2 注意 方程的根 与 函数的零点 求解时应还原为题目要求 2 关键步骤要全面阅卷时 主要看关键步骤 关键点 有关键步骤 关键点则得分 没有要相应扣分 所以解题时要写全关键步骤 踩点得分 对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写或不写 如本题第 2 问对g x 求导数的计算过程 可以省略
