1、.精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60）学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性；2、能用导数求函数的极值和最值。重点、难点考点及考试要求教学内容一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间1.定义：一般地，设函数 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 ，那么函数 在)(xfy 0)(xf)(xfy为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 ，那么函数 在为这个区间内的减函数.0)()(xfy2.用
2、导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 .)(x令 解不等式，得 的范围就是递增区间.0令 解不等式，得 的范围，就是递减区间.)(xfx例 14、.x0 时，证明不等式： .ex21二、利用导数求函数的极值.1、极大值一般地，设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有 ，就说 是函数的)(xf0x0 )(0xff)(0f一个极大值，记作 ， 是极大值点 奎 屯王 新 敞新 疆yf极 大 值 02、极小值一般地，设函数 在 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有 就说 是函数)(xf00 )(0fxf)(0f的一个极小值，记作 ， 是极小值点 奎 屯王 新 敞新 疆)(
3、xf f0极 小 值 x3、极大值与极小值统称为极值 奎 屯王 新 敞新 疆在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 奎 屯王 新 敞新 疆 请注意以下几点：（）极值是一个局部概念 奎 屯王 新 敞新 疆 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的 奎 屯王 新 敞新 疆 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系 奎 屯王 新 敞新 疆 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值x1点， 是极小值点，而
4、 .x4 )(14xff（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 奎 屯王 新 敞新 疆 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 奎 屯王 新 敞新 疆 f(x2)f(x4)f(x5)f(x3) f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1 ba xOy4、判别 是极大、极小值的方法:f0若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果x0)(x0)(xfx0)(fxf0在 两侧满足“左正右负” ，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负)(f 0 )(0右正” ，则 是 的极小值点， 是极小值 奎
5、屯王 新 敞新 疆0)(xff5、求可导函数 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf(2)求方程 的根 奎 屯王 新 敞新 疆0)(xf.(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 在方程根左右的值的符)(xf号，如果左正右负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值；如果左右)(xf )(xf不改变符号，那么 在这个根处无极值 奎 屯王 新 敞新 疆例 16、求 的极值.431xy例 17、函数 在 处具有极值，求 的值.xaxf3sin1i)(a例 18、 在 和 处有极值，求
6、 的值 奎 屯王 新 敞新 疆xbay2ln12xba、例 10、已知函数 axaxf 3239)(（1） 设 ，求函数 的极值；1af（2） ，且当 时， 恒成立，试确定 的取值范围。44,x12)(a例 11、已知函数 ，其中 。)(2)(34Rxbaxf ba,（1）当 时，讨论函数 的单调性；310a)(f.（2）若函数 在 处有极值，求 的取值范围；)(xf10a（3）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围。2,a1)(xf,b例 19、确定函数 的单调区间，并求函数的极大、极小值.12xy例 20、求函数 的极值与极值点.xy25431例 21、求函数 的极值.xyl
7、n2三、利用导数求函数的最大值与最小值1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象图中 与 是极小值， 是极大值函ba,)(xf )(1xf)3f )(2xf数 在 上的最大值是 ，最小值是 )(xfba, )(f1.一般地，在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值ba, )(xfba,说明：在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值如函数 在 内连续，但没有最 xf1)(,0大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件)(xfba
8、,)(xfba,(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 奎 屯王 新 敞新 疆2、用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的)(xf最值了设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(fba,ba, )(xfba,求 在 内的极值；x将 的各极值与 比较得出函数 在 上的最值.)(f )(f、 )(xf,例 22、.求函数 在区间 上的最大值与最小值 奎 屯王 新 敞新 疆524xy2,例 23、. 已知 , .是否存在实数 ,
9、使 同时满足下列两个条件：（1）xbaxf23log)( ),0(ba、 )(xf在 上是减函数，在 上是增函数；（2） 的最小值是 1，若存在，求出 ，若不存在，说明理)(xf1,0,1xf ba、由.例 24、若函数 在区间 内为减函数，在区间 上为增函数，试求实数 的1213)( xaxf )4,( ),6(a取值范围.例 25、已知函数 是 上的奇函数，当 时 取得极值 ，)0()(3adcxaxf R1x)(f2（1）求 的单调区间和极大值；f（2）证明对任意 ，不等式 恒成立)1,(,21421ff例 26、设函数 的定义域为 ，当 时，取得极大值；当)0,(5213)( aRbxbaxf Rx1时取得极小值， 且 x21421（1）求证： ；021（2）求证： ；ab62)(（3）求实数 的取值范围例 27、已知 ，函数 的图象与函数 的图象相切，0,1cbbxf)( cbxg2)(（1）求 的关系式（用 表示 ） ；,（2）设函数 在 内有极值点，求 的取值范围)()(xgfxF, c.单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
