1、1利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线 C： ，直线3211yxx:lya（1）若直线 与曲线 C 有唯一一个交点，求 的取值范围；（ 或 ）l 7316a（2）若直线 与曲线 C 有两个不同的交点，求 的取值范围；（ 或 ）（3）若直线 与曲线 C 有三个不同的交点，求 的取值范围 .（ ）l a解：令 得 或2(1)2yxx01,x2当 时， ；当 或 时， .100y所以 在 为减函数，在 ， 为增函数. ()gx,2)(,)(,)当 时，取得极大值 ；当 时，max136y2取得极大值 ；min7y（1）当 或 时，直线 与曲线 C 有唯一一个交点；3
2、al（2）当 或 时，直线 与曲线 C 有两个不同的交点；16（3）当 时，直线 与曲线 C 有三个不同的交点.7l2.已知函数 3()1,fxa（1）函数 的单调区间；y（2）若 在 处取得极值，直线 与 的图象有三个不同的交点，求 的取值范围.()fxym()fxm（-3,1）解: (1)f(x) 3x 23a3(x 2a)，当 a0，当 a0 时，由 f(x )0，解得 x .a a由 f(x )0 时，f(x)的单调增区间为a a(， )， ( ，) ，单调减区间为 ( ， )a a a a(2)f(x)在 x1 处取得极值，f ( 1)3( 1) 23a0，a 1.f(x)x 33x
3、 1，f(x)3x 23，由 f(x )0，解得 x11，x 21.由(1)中 f(x)的单调性可知， f(x)在 x1 处取得极大值f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.直线 ym与函数 yf(x) 的图象有三个不同的交点，结合如图所示 f(x)的图象可知：实数 m 的取值范围是( 3,1)xy(2,-76)(-1,73)fx() =13 2x +12-123.已知函数 .321()()fxaxR（1）当 时，求函数 的单调区间；ayf（2）若过点 可作函数 图像的三条不同切线，求实数 的取值范围.(0,)3xa(2)a解：(1)当 a3 时，函数 f(x)- x3+ 2x，得 f
4、(x)x 23x2(x1)( x2)1所以当 1x2 时，f( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x1 或 x2 时，f(x) 0，函数 f(x)单调递减所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为( ，1) 和(2，) .(2)设点 P 是函数 yf (x)图象上的切点，则过点 P 的切线的斜率 kf(t)t 2at2，32,)att所以过点 P 的切线方程为 y (t 2at2)(xt) ，321at因为点 在该切线上，所以 ( t 2at2)(0 t )，即 .1(0,)33 3210ta若过点 可作函数 yf (x)图象的三条不同切线，则函数 g(t) 有三个不同的零
5、点 32即函数 yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令 g(t)2t 2at 0，解得 t0 或 t .因为 g(0) 0， 所以必须 ，即 a2.1331()24a314a所以实数 a 的取值范围为(2， )4.(2012 江苏) 若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点，已知(yfx0 0x()yfx是实数，1 和-1 是函数 的两个极值点.,b32)axb（1）求 和 的值；（ ）a,ab（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；（-2 是 1 不是）()gx()2gxf()gx（3）设 ，其中 ，求函数 的零点的个数.hfc,yh（当 时，函数 有 5 个零点；当
6、 时，函数 有 9 个零点）c()yhxc()x解： (1)由题设知 f( x)3x 22axb，且 f( 1)3 2ab0，f(1) 32ab0，解得 a0，b3.(2)由(1)知 f(x)x 33x. 因为 f(x)2( x1) 2(x2)，所以 g(x) 0 的根为 x1x 21，x 32，于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x0，故2 是 g(x)的极值点当21 时，g(x)0，故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.(3)令 f(x)t，则 h(x)f(t) c.先讨论关于 x 的方程 f(x)d 根的情况，d2,23当|d |2 时，由 (2)可知，
7、f(x )2 的两个不同的根为 1 和2，注意到 f(x)是奇函数，所以 f(x)2 的两个不同的根为1 和 2.当|d |0，f (1)df( 2)d2d0，于是 f(x)是单调增函数，从而 f(x)f(2)2，此时 f(x)d 无实根同理，f(x) d 在(，2)上无实根当 x(1,2)时，f(x )0，于是 f(x)是单调增函数又 f(1)d0，yf(x) d 的图象不间断，所以 f(x)d 在(1,2) 内有唯一实根同理，f(x)d 在( 2， 1)内有唯一实根当 x(1,1)时，f(x)0，f (1)d0.当 x 变化时，f( x)，f (x)的变化如下表：x (，1) 1 (1，a
8、) a (a， )f(x) 0 0 f(x) A极大值 A极小值 A故函数 f(x)的单调递增区间是(，1) ，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知 f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间( 1,0)内单调递减，从而函数 f(x)在区间(2,0) 内恰有两个零点. 当且仅当 解得 00，并由 x0，x x x解得 x1.令 h(x)0，解得 00 且 x1 时，h(x)0，h(x) 0 在(0，)上只有一个解即当 x0 时，方程 f(x)g(x) 2 有唯一解7. 已知函数 ，aR()2lnx（1）讨论函数 的单调性；()Fxf（2）若方程 在区间 上有两个不等的实数解，求实
9、数 的取值范围.fg,ealn21()ae解: (1)F( x)ax 22ln x，其定义域为(0 ，)，F(x)2ax (x0)2x 2ax2 1x当 a0 时，由 ax210，得 x .由 ax210 时，F(x)的递增区间为 ，递减区间为 .(1a， ) (0，1a)5当 a0 时，F(x)0)恒成立故当 a0 时，F( x)在(0，)上单调递减(2) a-12(0,(ff-)()0ga11n)0hxx+6 在 为增函数， 即 选（D）()ln1)2xh=-(,)+1()2hx=-21()fx-法二消去超越式，化为代数函数式： ，函数 的两个极值点满足： . ()ll20f aa-()f
10、 120xa1，(x) (x 1)2x 1 x 3x 1由 g(x)0，得 x3；由 g( x)0， 在 1,0上单调递增；当 时, )(f1函数 的单调增区间为 ),112（3） xfxg3)(=2x+lnx设过点（2，5）与曲线 g (x)的切线的切点坐标为 0(,)xy /00()2y即 0 012ln5)(xx 02lnx令 h(x)= l2 /h()= 21=0 xh(x)在（0，2 ）上单调递减，在（2， ）上单调递增又 (ln0，h(2)=ln2-10， 2()0heh(x)与 x 轴有两个交点过点（2，5）可作 2 条曲线 y=g(x)的切线. 19、已知 3是函数 af 10
11、ln()(2的一个极值点。(1)求 a（2）求函数 )(xf的单调区间；（3）若直线 by与函数 )(xfy的图象有 3 个交点，求 b的取值范围。（1）解： 1021)(xaf 2 分1604)(, af即的 一 个 极 值 点为4 分（2）当 )3(26)(,6 xxfa时令 310)(xf或得 6 分x（1，1） 1 （1，3） 3 ),3()(f+ 0 0 +x极大值 极小值由上表可知， )(xf的单调递增区间为 ),3()1和 ，其单调减区间为（1，3）9 分（3）由（2）知 2ln6(24ln6)3( fxff 极 大 值极 小 值 10 分13若直线 )(xfyby与 函 数 的图象有 3 个交点,则 92ln162lnb
