1、利用导数研究函数的性质,主要内容：,一、函数的单调性，极值，最值,二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性,在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,单调性,导数的正负,函数及图象,切线斜率的正负,函数单调性与导数的关系？,负,正
2、,负,正,在区间(a,b)上递增,在区间(a,b)上递减,正,正,负,负,f (x)0,f (x)0,由上我们可得以下的结论:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内 0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数.,函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点
3、统称为极值点,已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,、,函数的最值,最大值： 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： 任意的x属于I,都有f(x) M 存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。最小值： 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足： 任意的x属于I,都有f(x) M 存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个端点值比较得到最值”,曲线弯曲方向凹凸性,观察右图：,切线的斜率越来越大,二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐点.,观察右图：,切线的斜率越来越小,拐点,凸弧,分界点,凹弧,谢谢一组出品必是精品,
