1、2 5 1函数的单调性 2 5利用导数研究函数 定理2 6 所以函数y f x 在 a b 上单调增加 故 该定理只是函数在区间内单调增加 或减少 的充分条件 例2 33判定函数y x sinx在 0 2 上的单调性 解因为在 0 2 内 所以由定理1可知 函数y x sinx在上单调增加 例2 35 解 单调区间为 求函数单调区间的步骤 1 求函数的定义域 3 列表讨论各区间一阶导数的符号 得函数的单调区间 4 综合写出答案 例 解 函数单调增加区间为 函数单调减少区间为 利用函数的单调性可证明不等式 例2 38证明 当x 1时 f x f x 在 因此在 上 单调增加 从而当x 1时 f
2、x f 1 0 即 2 5 2曲线的凹向与拐点 1 曲线凹向的定义 定义2 4若在某区间内 曲线y f x 位于其上每点的切线的上 下 方 则称此曲线在该区间内是向上 下 凹的 该区间称为曲线的向上 下 凹区间 2 拐点的定义 连续曲线上不同凹向的分界点称为该曲线的拐点 定理2 7 3 曲线凹向的判定法 4 求曲线凹向区间与拐点的步骤 1 求函数的定义域 2 求二阶导数 在定义域内求二阶导数为0和二阶导数不存在的点 3 列表讨论 4 综合写出答案 例2 41求曲线y 2x3 3x2 2x 14的拐点 解 函数的定义域为 例2 42 解 拐点 拐点 例2 44求曲线y 2 x 4 1 3的拐点
3、解函数的定义域为 y 在区间 内恒不为零 但x 4时 y 不存在 但f x 在x 4处连续 且f 4 2 因此需要判断 4 2 是否为拐点 x在4的左侧邻近时 y 0 在4的右侧邻近时 y 0 即y 在x 4两侧异号 所以 4 2 是曲线的拐点 例曲线或是否有拐点 解 因此 有 或极小值 并且称点x0是f x 的极大点 或极小点 2 5 3函数的极值与最值 2 5 3 1函数的极值及求法 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 函数的极大值和极小值是函数的局部的性质 在图中 使函数取得极值的点称为函数的极值点 2 定理2 8 必要条件 若点是函数f x 的极值点 则是f x 的驻点或导数不存在的
4、点 因此x 0是函数的驻点 但 定理2 8就是说 可导函数f x 的极值点必定是它的驻点 但反过来 函数的驻点却不一定是极值点 例如 f x 的导数 函数f x x 在x 0点处不可导 但函数在该点取得极小值 导数不存在的点处也可能取得极值 例如 怎样判定函数在驻点或不可导的点处究竟是否取得极值 下面给出两个判定极值的充分条件 通常把函数在定义域中的驻点及导数不存在的点统称为极值可疑点 连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值 则f x 在x0处不取极值 解 例2 45求函数的极值 定理2 10 第二充分条件 设函数f x 在处具有二阶导数且 那么 取得极小值 当函数f x 在驻点处的二阶导数存在
5、且不为零时 也可以利用下述定理来判定f x 在驻点处取得极大值还是极小值 导数的定义有 根据函数极限的局部保号性 当x在的足够小得去心邻域内时 从而知道 对于这去心邻域内的x来说 类似的可以证明情形 2 定理表明 如果函数f x 在驻点处的二阶导数 那么该驻点一定是极值点 解 因 定理2 10就不能应用 所以f x 在x 1处没有极值 同理 f x 在x 1处也 没有极值 故用定理2 10无法判别 考察一阶导数 小结 求函数单调区间 极值的步骤 1 求函数的定义域 3 列表讨论各区间一阶导数的符号 得函数的单调区间 极值 4 综合写出答案 2 5 3 2函数的最值 由闭区间上连续函数的性质 可
6、知f x 在 a b 上的最大值和最小值一定存在 1 函数在闭区间上的最值 f x 的最大值和最小值可能在区间的端点处取得 因此 可用如下方法求f x 在 a b 上的最大值和最小值 1 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 最大者就是最大值 最小者就是最小值 解 计算 比较得 解 计算 此外x 0点不可导 所以最大值0 最小值 7 2 实际问题的最值 例2 49工厂铁路线上AB段的距离为100km 工厂C距A处为20km AC垂直于AB 如图 为了运输需要 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3 5 为了
7、使货物从供应站B运到工厂C的运费最省 问D点应选在何处 解先根据题意建立函数关系 通常称这个函数为目标函数设AD x km 则DB 100 x 由于铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3 5 所以我们可设铁路上每公里的运费为3k 公路上每公里的运费为5k k是某个正数 并设从B点到C点需要的总运费为y 则y 5k CD 3k DB 即得目标函数 3k 100 x 0 x 100 令y 0 得驻点x 15 km 其中以y x 15 380k为最小 因此当AD x 15km时 总运费为最省 因为y x 0 400k y x 15 380k 若目标函数f x 是可导的 且在该区间内只有
8、一个驻点x0 那么不必讨论f x0 是否是极值 即可断定f x0 是最大值或最小值 在很多实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定目标函数f x 在某个开区间内必有最大值或最小值 例2 50将边长为a的正方形铁皮于四角处剪去相同的小正方块 然后折起各边焊成一个容积最大的无盖盒 问剪去的小正方块的边长为多少 解设剪掉的小正方形的边长为x 则盒的底的边长为a 2x 高为x 盒的容积为 所以 当 x 3 实际问题的最值 1 建立目标函数 根据题设及利用几何 物理知识 保留一个自变量 2 求函数的定义域 3 求一 二 阶导数 令一阶导数为0 得驻点 4 求最值 例易拉罐的罐装饮料筒为圆柱体 已知其上
9、下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的2倍 应如何设计易拉罐的尺寸使其总造价最省 解设易拉罐的底半径为r 高为h 则v r2h 设其侧面的单位面积造价为k 则上 下底的单位面积造价为 k k为常数 总造价为L 则 由于在 内函数只有一个驻点 所以当易拉罐的底直径与高的比为 时总造价最省 1 曲线的渐近线 定义2 6若曲线y f x 2 5 4函数的作图 解 y 2 y 2是曲线的水平渐近线 解 y 3是曲线的水平渐近线 x 1和x 1是曲线的铅直渐近线 利用函数特性描绘函数图形 第一步 第二步 函数的分析作图法步骤 2 5 4 2 函数的作图 第三步 第五步 例2 52 解 列表确定函数单调区间 凹向区间及极值点与拐点 极大值 拐点 极小值 例2 53 列表确定函数单调区间 凹向区间及极值点与拐点 拐点 极大值 拐点
