1、3.3.1利用导数研究函数的单调性,(第一课时),2、导数的几何意义：,3、求导数的步骤： （1）求平均变化率；（2）取极限，得导数.,复习准备,基本初等函数的导数公式可以分为四类:,第一类为幂函数:,第二类为三角函数:,第三类为指数函数:,第四类为对数函数:,请牢记!,函数 y = f (x) 在给定区间 (a,b) 上，当 x 1、x 2 (a,b) 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在(a,b) 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在(a,b
2、)上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上有单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),引例:判断函数 的单调性,点击,解(定义法）：设 则,课程讲授,1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内,结论一:,f (x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,例1、判断函数 的单调性,解(导数法）：,解(定义法）：设 则,求函数 的单调区间,例2、求函数 的单
3、调区间,解：,注意:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,解:函数的定义域是(-1,+),由 即 得x1.,又函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,验证,利用导数讨论函数单调性的步骤:,(1)求 的定义域D,(2)求导数,反思小结,导数法求函数的单调区间的一般步骤:,（1）求出函数f（x）的定义域A；,（2）求出函数 f（x）的导数 ；,（3）不等式组 的解集为f（x）的单调增区间；,（4）不等式组 的解
4、集为f（x）的单调减区间；,注意:单调区间不 以“并集”出现。,增函数,减函数,边界应代入检验！,增函数,减函数,例3 已知导函数的下列信息：当 时， 当x3或x-1时， ；当x=3或x=-1时， .试画出函数图象的大致形状.,解：当1x3时，f(x)0，可知f(x)在此区间内单调递减； 当x3和x1时，f(x)0，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x1和x3时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示,训练3：函数yf(x)在定义域 内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是( ),课堂小结,1.
5、求函数f(x)单调区间的步骤是：先确定定义域，再求出f(x)，最后通过解不等式f(x)0和f(x)0求出单调区间正确运用求导公式对函数进行求导，准确熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功,2. 当函数的增减区间有多个时，区间之间不能用并集符号合并，也不能用“或”，应该用“，”隔开或用“和”,3. 如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)是常数函数如果在某个区间内只有有限个点使f(x)0，其余点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形与增函数的情形类似),达标检测,B,B,A,-4,问题探究：确定函数f(x)=x/2+sinx 的单调区间.,解:函数的定义域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,
