1、第六节 傅里叶级数,上面我们已经研究了用幂级数来表示一个函数f(x),该函,数的幂级数展开式是以多项式的形式逼近非多项式函数,现在我们要研究的傅里叶级数展开是解决三角多项式近似,表达函数的问题.,有了幂级数的展开式,为什么还要研究傅里叶级数.这是,因为幂级数展开对函数的要求太高.,(1)要求函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数.,(2)如果具备条件（1）后,还要求它的余项极限为0,否,则就不是该函数的幂级数展开式.,相反,傅里叶级数对函数的要求就低很多,它只要求函数,连续,即使函数不连续，但它允许只有有限个第一类间断,点,或有从某一阶开始的导数不存在的点.所以在工程中,广,泛应用傅里叶级数.
2、,下面,我们对傅里叶级数的展开式进行介绍.,1.三角级数,2.三角函数系为:,一 三角函数,三角函数系的正交性,1.cosx,sinx, cos2x, sin2x,.,cosnx, sinnx,3.三角函数系的正交性:,三角函数系在-,上正交,是指三角函数系中任何不,同的两个函数的乘积在区间-,上的积分等于零.即:,现选择(4)式用计算定积分来验证,由积化和差可得到:,注意:在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间-,我们把(2)式进行证明:,上的积分不等于零,即,1, 函数展开成傅立叶级数的含义:,并设三角级数可逐项积分.,二 函数展开成傅立叶级数,若f(x)是周期为2的周期函数,且f(x)
3、能展开成三角级数:,若a0,a1,b1,.能表达为与f(x)有关的积分表达式:,将a0,a1,b1,代入三角级数的右端,得到,则此式称为函数f(x)的傅立叶级数.其中a0,a1,b1,叫做f(x),的傅立叶系数.,2.傅立叶系数a0,a1,b1,的导出:,从-到逐项积分:,由三角函数系的正交性:,(1)a0: 把,(2)an和bn:,两端,再从-到逐项积分,得到,由三角函数系正交性,等式右端除k=n 一项外,其余各项,用cosnx乘,均为零.,3. 收敛定理(狄里克雷充分条件),设f(x)是周期为2的周期函数,如果它满足:,(1)在一个周期内连续或只有有限个第1类间断点;,(2)在一个周期内至
4、多只有有限个极值点.,则f(x)的傅立叶级数收敛于,并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);,当x是f(x)的间断点时,级数收敛于,狄里克雷充分条件的解释:,(1)即函数f(x)在-,上不作无限次振动,函数的傅,立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值f(x).,(2)在间断点,则收敛于该点的左极限与右极限的算术,平均值.,例1 设f(x)是周期为2的周期函数,它在求解(-1,1上定义为,则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于,分析: 根据收敛定理, f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于,现在我们研究狄里克雷收敛定理的应用:,例2 设f(x)=2-x (0x2), 而,其中,求S(-1
5、)和S(0),分析: S(x)是f(x)在0,2上的傅里叶正弦级数,也是奇函数,在-2,2上的傅里叶正弦级数,由狄里克雷定理,在F(x)的,连续点x=-1处,S(-1)=F(-1)=-2-(-1)=-1,在F(x)的间断点x=0处,S(0)=F(0-0)+F(0+0)/2=-2+2/2=0,例3 设f(x)是周期为2的周期函数,它在-,)上的,把f(x)展开成傅立叶级数.,解:对于傅里叶级数,首先作图.,因为在图中,我们可看出其展开后的情况,表达式为,(1)因为函数满足收敛定理条件,在点x=k,(k=0,1,2,.)处不连续,所以在间断点,x=k处,级数收敛于,(2)xk时,级数收敛于f(x)
6、., 计算傅立叶系数:,(3)傅立叶展开式为:,如果把例1中的函数理解为矩形波的波形函数(周期,T=2,辐值E=1,自变量x表示时间),那么上面所得到的,展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加,而成的,这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍.,周期延拓:,若f(x)不是周期为2的周期函数,只在-,上有定义,并满足狄里克雷充分条件,可在-,)或(-,外补充,函数定义,使f(x)拓广为周期为2的周期函数F(x),称这种,拓广函数定义域的过程为周期延拓.,把F(x)展开为傅立叶级数,最后限制x在(-,)内,此时,F(x)f(x)即得f(x)的傅立叶级数展开式.,注意:由狄里克雷充分条件,该
7、级数在区间端点x=,收敛于:,例4 把函数,展开成傅立叶级数.,解: (1) f(x)在-,上满足狄里克雷充分条件,把f(x)拓,广为周期函数,该周期函数的傅立叶级数在-,上收,敛于f(x).,(2)计算傅立叶系数:,(3)把傅立叶系数代入,得到,利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当x=0,时,f(0)=0.于是由这个展开式得到,三 正弦级数和余弦级数,本节研究的是:,(一).奇函数和偶函数的傅立叶级数,(一). 奇函数和偶函数的傅立叶级数,(二). 函数展开成正弦级数或余弦级数.,1.定理: 设f(x)是周期为2的函数,在一个周期上可积,则:,(1)当f(x)为奇函数时,它的傅立
8、叶系数为,f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间,(2)当f(x)为偶函数时,它的傅立叶系数为,f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间,上积分的两倍,上积分的两倍,证明: 现在只证明(1): 设f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(二). 正弦级数和余弦级数,正弦级数: 若f(x)为奇函数,则f(x)的傅立叶级数只含有正弦项,称为正弦级数.,余弦级数: 若f(x)为偶函数,则f(x)的傅立叶级数只含有余弦项,称为余弦级数,例5 设f(x)是周期为2的周期函数,它在-,)上的表,达式为f(x)=X,把f(x)展开成傅立叶级数.,解:f(x)符合狄里克雷条件,其不连
9、续点为:x=(2k+1),(k=0,1,2),故在不连续点处,f(x)的傅立叶级数收敛于,在连续点x(x(2k+1)处,f(x)的傅立叶级数收敛于f(x).,因为f(x)为奇函数,故可展开为正弦级数,此时an=0 (n=0,1,2,3,),一个函数展开成傅里叶级数,它具有正弦级数的项和余弦,级数的项.如果该函数是奇函数(或偶函数),则它的傅里叶,级数的展开式只有正弦级数的项(或余弦级数的项),计算,简单.,讨论:把定义在区间0,上的函数f(x)展开成正弦级数,二 函数展开成正弦级数和余弦级数,或余弦级数(非周期函数),1.奇(偶)延拓:f(x)在0,上满足狄里克雷条件,在(-,0),内补充f(
10、x)的定义,得到定义在(-,上的函数F(x),使F(x),在(-,)上成为奇函数(偶函数),称此种拓广函数定义域,的过程为奇(偶)延拓.,2.F(x)展开成正弦级数(余弦级数),把奇(偶)延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x).,的正弦级数或余弦级数.,3.f(x)的正弦(余弦)级数展开式:,限制x在(0,上,此时F(x)f(x),F(x)的正弦(余弦)级数,展开式在此范围内即为f(x)的正弦(余弦)级数的展开式.,例4 把函数f(x)=x+1 (0x)分别展开为正弦,级数和余弦级数,解: (1) 先求正弦级数:,对函数f(x)进行奇延拓,注意:x=0及x=处,级数的和为0,它不代表f(x)的值.,(2)再求余弦级数,对函数f(x)进行偶延拓.,同样的函数,进行奇延拓和偶延拓,情况是不同的.但在,(0,)区间函数值是一样的,
