1、一、三角级数 三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,11.7 傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,三角级数,形如,的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数.,三角函数系,三角函数系的正交性,三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 上的积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于零.,提示:,提示:,提示:,二、函数展开成傅里叶级数,傅里叶系数,设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:,且假定三角级数可逐项积分 则,二、函数展开成傅里叶级数,设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:,且假定三角级数
2、可逐项积分 则,系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数.,傅里叶系数,傅里叶级数,然而, 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛, 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说, 这两个问题的答案都不是肯定的.,一个定义在(, )上周期为2的函数f(x), 如果它在一个周期上可积, 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.,定理(收敛定理 狄利克雷充分条件),设f(x)是周期为2的周期函数, 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且,当x是f(x)的连续点时, 级数收敛于f(x)
3、;,傅里叶级数,f(x)的图形,和函数图形,解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.,.,当xk时傅里叶级数收敛于,当xk时级数收敛于f(x).,解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.,因为傅里叶系数为,所以f(x)的傅里叶级数展开式为,(x; x 0, , 2, ).,f(x)的图形,和函数图形,解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.,当x(2k1)时傅里叶级数收敛于,当x(2k1)时级数收敛于f(x).,.,解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.,所
4、以当x(2k1)时f(x)的傅里叶级数展开式为,因为傅里叶系数为,周期延拓,设f(x)只在, 上有定义, 我们可以在, )或(, 外补充函数f(x)的定义, 使它拓广成周期为2的周期函数F(x), 在(, )内, F(x)f(x).,解 所给函数在区间, 上满足收敛定理的条件, 并且拓广为周期函数时, 它在每一点x处都连续, 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在, 上收敛于f(x).,所以f(x)的傅里叶级数展开式为,因为傅里叶系数为,解 所给函数在区间, 上满足收敛定理的条件, 并且拓广为周期函数时, 它在每一点x处都连续, 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在, 上收敛于f(x).,三、正弦级数和
5、余弦级数,奇函数与偶函数的傅里叶系数,an0 (n0, 1, 2, ),bn0 (n1, 2, ).,当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为,当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为,正弦级数和余弦级数,如果f(x)为奇函数, 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数,如果f(x)为偶函数, 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数,例4 设f(x)是周期为2的周期函数, 它在, )上的表达式为f(x)x. 将f(x)展开成傅里叶级数.,解 所给函数满足收敛定理的条件, 因此f
6、(x)的傅里叶级数收敛.,当x(2k1)(k0, 1, 2, )时, 傅里叶级数收敛于,.,当x(2k1) (k0, 1, 2, )时, 傅里叶级数收敛于f(x).,f(x)的图形,和函数的图形,解 所给函数满足收敛定理的条件, 因此f(x)的傅里叶级数收敛.,.,当x(2k1) (k0, 1, 2, )时, 傅里叶级数收敛于f(x).,因为f(x)在(, )上是奇函数, 其傅里叶级数是正弦级数,所以f(x)的傅里叶级数展开式为,(x , x, 3 , ).,例4 设f(x)是周期为2的周期函数, 它在, )上的表达式为f(x)x. 将f(x)展开成傅里叶级数.,当x(2k1)(k0, 1,
7、2, )时, 傅里叶级数收敛于,而,解 函数u(t)在整个数轴上连续, 满足收敛定理的条件, 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).,因为u(t)是周期为2的偶函数, 其傅里叶级数是余弦级数,所以u(t)的傅里叶级数展开式为,而,所以u(t)的傅里叶级数展开式为,因为u(t)是周期为2的偶函数, 其傅里叶级数是余弦级数,解 函数u(t)在整个数轴上连续, 满足收敛定理的条件, 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).,而,(t),设函数f(x)定义在区间0, 上并且满足收敛定理的条件, 我们在开区间(, 0)内补充函数f(x)的定义, 得到定义在(, 上的函数F(x), 使它在(, )上成为奇函数(偶函数). 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓). 限制在(0, 上, 有F(x)f(x).,奇延拓与偶延拓,奇延拓,偶延拓,例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数.,先求正弦级数.,解,为此对函数f(x)进行奇延拓.,函数的正弦级数展开式为,正弦级数的系数为,在端点x0及x处, 级数的和为零.,(0x),再求余弦级数.,为此对函数f(x)进行偶延拓.,函数的余弦级数展开式为,a 0=p2,余弦级数的系数为,例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数.,解,(0x),
