广义傅里叶级数 无01周海川姜博魏翔宇裴楠无03秦仕明 问题的提出 傅里叶级数展开为什么要展开成正弦函数傅里叶变换为什么要变换为角频率的函数是否正弦信号是一切信号的组成元素时域变为频域是否是唯一变换途径我们联想到大一学过的微积分与线性代数里傅里叶级数的一些拓展 便做了一些研究 定义 一个满足一定条件的函数f t 可以展开成完备的正交函数系的级数 f t 如同傅里叶级数一样 我们称这种展开为广义傅里叶级数 注意 这里的可以是任意正交函数系 数学变换 设正交区间为 c d 将上式两端同乘 并在区间 c d 积分得 这里要求正交函数系是归一化的 否则右端会出现不为1的系数 注意与傅里叶级数比较 非常相似 在最小均方误差下 f t 为最佳代表 证明 假定另有有限项级数则其与f t 的均方误差Q为 显然 当b n a n 时 上式右端第三项为0 Q最小 所以结论正确 补充 以上结论都是假定正交函数系是完备的 正交函数系是否完备的充要条件 上式称为完备定理 或Parseval定理 两点启发 如果将一个信号分解成有限或无穷个非正余弦信号 如无穷个冲击信号 也许会更有利于某些问题的解决 如果能将其分解成合适的一系列元素信号 那么时域的信号也可变换成另外一个域 至少不是正弦频率域 的信号
