1、7.7 傅里叶级数 一 教学目的与要求 、理解傅里叶级数的概念及正交三角函数系的概念 、熟练掌握傅里叶级数各系数的计算公式 二 重点与难点 傅里叶级数各系数的计算公式 三 教学过程 本节讨论另一种特殊的函数项级数傅里叶级数。同幂级数一样，傅里叶级数在理论与 应用上都有重要价值。 在科学技术中，为了描述周期现象，就需要用到周期函数，各种各样的周期振动是最常见的周期现象。最简单的振动可以表示为 tbta sincos + 或 )sin( +tA 这里 22Aab=+叫做振幅， 称为初相， 称为频率，其中22 22sin ,cosaab bab=+ =+，由上式描述的振动称为谐振动，它的周期2,T
2、= 当 1 = 时， T= 2 。 一般说来，任何复杂的振动都可以分解为一系列谐振动之和，用数学的语言来描述，就是：在相当普遍的条件下，周期为 T 的函数 )(xf 可以表成以下形状的级数和 =+10sincos2nnnxnbxnaa （ 7。 1） 其中 2 T = ，式（ 7。 1）中的常数项写成02a 是为了以后讨论的方便。当 T=2 时，式（ 7。 1）变为 =+10sincos2nnnnxbnxaa（ 7。2） 式（ 7。 2）被称为以 2 为周期的函数 )(xf 的傅里叶级数，本节主要讨论这种函数关于式（ 7。 2）的展开问题，下一节讨论周期函数的展开问题。 。 7 7 7 正交三
3、角函数系 式（ 7。 2）是由三角函数系 1， cosx, sinx ,cos2x, sin2x, cosnx, sinnx 所构成。这个函数系的一个值得注意的特点是“正交性” ，即任意两个不同的函数的乘积在区间 , 上的积分都等于 0。事实上，直接计算可得 =0cos1 nxdx =0sin1 nxdx 利用三角公式 )cos()cos(21coscos xnmxnmnxmx += )cos()cos(21sinsin xnmxnmnxmx += )sin()sin(21sincos xnmxnmnxmx += 又可得到 cos cos0mnmx nxdxmn=sin sin0mnmx nx
4、dxmn=0sincos nxdxmx 这种性质为什么称为正交呢？ 在线性代数中，nR 表示 n 维向量的集合。两 n 维向量 x=( ).,21 nxxx ,y=( ).,21 nyyy的内积定义为 1(, )niiix yxy=（ 7。 3） 内积具有下述性质： （ 1） （ x+y, z） =(x, z)+ (y, z) （ 2） (ax, y) =a (x, y) (a 是任意实数 ) （ 3） （ x,y） =(y,x) （ 4） (x,x)0, 等号成立当且仅当 x 是一零向量。 称两向量 x与 y 正交，若（ x,y） =0 (7.4) nR 中的内积实质上是：nR 中 的任意两
5、元素通过史（ 7。 3）有唯一的实数与之对应，此对应具有上述性质（ 1）（ 4） 。从这个意义上讲，我们可以在很多集合上定义内积。例如， Ca,b,若 f,g Ca,b,定义 =badxxgxfgf )()(),( （ 7。 5） 容易验证由式（ 7。 5）所定义的对应具有性质（ 1）（ 4） 。称（ f,g）为 f 与 g 的内积。同样的，若 (f, g)=0 (7.6) 则称 f 与 g 正交。当 a= = b, 时，三角函数系便在内积式（ 7。 5）的意义下成为正交系。这正是我们称之为正交的原因。 内积与正交的概念在nR 中的重要性是显然的，这种重要性对凡是能建立内积的集合来说都是一样的
6、，这使得该集合有了直观的几何特征。运用内积，是现代数学的一个重要方法，是一门较深的数学课程“泛涵分析”研究的一个重要内容。许多问题，只有在内积引入后， 才能得到彻底解决， 包括我们正在讨论的傅立叶级数。 有兴趣的读者在学完此门课程后，可自学“泛涵分析” 。 7 7 2 傅里叶级数 下面是函数( )f x的傅里叶展开的唯一性定理。 定理 7。 1 如果以 2 为周期的函数 ( )f x 在区间 , 上能展开为可逐项积分的傅里叶级数（ 7。 2） ，则其系数公式为 011() , ()cos1( )sin , 1,2,nna f x dx a f x nxdxbfxxdn=（ 7。 7） 证 由已
7、知， f(x)等于式（ 7。 2） ，等式两端在区间 , 上积分，利用正交性得 001() cos sin 2nnnaf x dx dx a nxdx b nxdx a =+ + = 故 01()afxd=将（ 7。 2）等式两端同乘以 coskx, 再从 到 积分，得 201( )cos cos cos cos sin cos cos2nn kknaf x kxdx kxdx a nx kxdx b nx kxdx a kxdx a =+ + = = 故 1()coskafxkxd=类似的，用 sin kx乘式（ 7。 2）两边，再从 到 积分，利用正交性得 1()sinkbfxkxd=称式
8、（ 7.7）给出的各数0, , ( 1,2,3,)nnaabn= 为函数 f(x)的傅里叶系数。 从系数公式（ 7.7）看，只要 f(x)在 , 上可积，形式上的傅里叶级数总是存在的，记为， 01() cos sin 2nnnaf xanxbx=+ （ 7.8） 注意， f(x)的傅立叶级数不见得收敛，即使收敛也未必收敛到 f(x)上。所以，不能无条件的把式（ 7。 8）中的 换为 = ，我们在 上一小节指出，傅立叶级数的收敛问题只有在“泛函分析”内积的讨论只才能最后解决，这无疑超出了本书的范围。下面给出一个定理，它的证明还需要较多的知识，故略去。 定理 7.2 如果函数 f(x)在区间 ,
9、上满足： （ 1） 除有限个第一类间断点外，处处连续； （ 2） 分段单调，且单调区间个数有限。 则 f(x)的傅里叶级数在区间 , 上处处收敛，且其和函数为 ()() ()1( ) ( ) ()21( ) ( )2fx x fxSx fx fx x fxff x +=+ =是 的连续点是 的第一类间断点 定理 7.2 说明，把函数展为傅立叶级数的条件远比展为幂级数的条件低；定理中的条件通常称为狄利克雷 (Dirichlet, 1805-1859,德国数学家 )条件，它是判别收敛性的一个充分条件，在实际应用中，很多函数都能满足这个条件。 还应当指出的是，虽然定理 7。 2 中的函数 f(x)仅
10、定义在 , 上，但由于傅里叶级数的各项是以 2 为周期的函数，所以，它的和函数也是以 2 为周期的函数。只要将 f(x)按照周期 2 向左，右作周期延拓，那么它的傅里叶级数就在整个数轴上都收敛于 f(x)了。 特别，若 f(x)在 , 上是奇函数，那么由于 f(x)cosnx 也是奇函数，而 f(x)sinnx 为偶函数，所以 1( )cos 0 0,1,2,12()sin ()sin =12,nnafxnxd nb fxnxdx fxnxdxn=，3.从而，它的傅里叶级数变为 1( ) sin (7.9)nnfx b nx= 称之为正弦级数。 类似的，当 f(x)在 , 上的偶函数 f(x)
11、的傅里叶级数仅含余弦项和常数项，即 01( ) cos (7.10)2nnafx a nx=+称之为正弦级数。 例 . 设 210()0xfxxx = ，问其傅里叶级数在 x = 处收敛于何值？ 解 由于 f(x)在 , 上满足狄利克雷条件，可以将 f(x)展为傅里叶级数。因为 22( ) lim , ( ) lim ( 1) 1xxfxf+= 所以， f(x)的傅里叶级数在点 x = 处收敛于 2()() 122ff+ = 例 设0()00xxfxx = ，将 f(x) 展开为傅里叶级数。 解 ：首先计算傅里叶系数 000022211()221,3,5,.111sincos1()cos co
12、s | 1 ()0 2,4,6,.nnafxdxdnxnx nxa f x nxdx x nxdxnnn nn=+=10021 1 1 cos sin cos ( 1)()sin sin |nnxnx x nb f x nxdx x nxdxnn n n+=+=故 f(x)的傅里叶级数为 121221()() 1 (1)cos sin4211 11cos cos3 cos5 . sin sin 2 sin 3 .435 2nnnf x nx nxnnxxx xxx+=+ + = + + + + + + 由于 f(x)满足狄利克雷条件，由定理。，得 1211()1 ( 1) cos sin4()
13、2nnnnx nxnnfx xx+=+ +=例 将函数0()0xxfx = 展开为傅里叶级数。 解由函数的图形知，这是个偶函数。 00020220022()41, 3, 5, .222sincos2()cos cos | () 102,46,.nnafxdxdnxnx nxa f x nxdx x nxdx nnn nn=+=由于 f(x)处处连续，所以 ()222141 4 1 1cos(2 1) (cos cos3 cos5 .)2(21) 2 3 5nfx n x x x xn= = + + +其中 (),x+。 利用这个展开式，容易得到几个数值级数的有趣的结果。令 x=0,则 222111 .835=+ + + 设 22221 222 2223 2221111 .234111 .35 8111.2461111 .234=+ + + +=+ + + =+= + +因为12244 += ，所以 2122122312324612=+=
