1、傅里叶级数（Fourier Series）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 )sin(tAy就是一个以 为周期的函数。其中 表示动点的位置， 表示时间， 为振幅，2 tA为角频率， 为初相。但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为 的周期函数用一系列以 为周期的正弦函数)2(TT组成的级数来表示，记为)sin(tA10)sin(tAtf 其中 都是常数。),32(,0n将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动
2、看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项 称为0A的直流分量； 称为一次谐波（又叫做基波） ；而 ， )(tf )sin(11tA )2sin(t依次称为二次谐波，三次谐波，等等。)3sinA为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数 按三角公式变形，得)sin(tA，tttnnnsicocsi)si(令 ，则上式等号右端的级数就可以改写xtbAa,o,i,20成 10)sinco(2nxba这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数 须为周期函数；)(xf（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果 是函数
3、的间断点，0x)(xf但左极限 及右极限 都存在，那么 称为函数 的第一类)0(xf )0(xf间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。若满足以上条件则 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当 是)(xf x的连续点时，级数收敛于 ，当 是 的间断点时，级数收敛于)(xf x)(f。 、)0(21xf以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）的内容。2.函数展开成傅里叶级数（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数 1， ,sinco,2sin,co,si xxx在区间 上正交，就是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间,上的积分等于零，
4、即,，0cosnxd)3,21(n，i ，csxk),(k，0ond321nkn.sixk ),(k（2）傅里叶系数的推导设 是周期为 的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数 的傅里叶级数)(f2 )(xf记作10)sinco(2)(nxbaxf那么傅里叶系数 如何利用 表达出来？,(f先求 ，对式从 到 逐项积分：0adxf)( 10 sincos2nxdbnxdax根据三角函数系的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则： dxf)(20从而得出xfa)(10其次求 ，用 乘式两端，再从 到 逐项积分，可得nxcosnxddxf cos2)(012cosincosn xdbxda根
5、据三角函数系的正交性，可以得出： nnn axaxf 2scscos)(.dfan)(1 )3,1(类似地，用 乘式两端，再从 到 逐项积分，可得xsi nxdandf si2i)(01 2sincosinxdbxda根据三角函数系的正交性，可以得出： nnnxaxf 2ssisi)(dfbn)(1 )3,1(由于当 时， 的表达式正好给出 ，因此，已得结果可以合并写成0n0a，xfacos)( ),2(n，nxdfbnsi)(1)3,21(例： 设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为)(xf2.0,1,)(xf将 展开成傅里叶级数。)(xf解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点 处不连
6、续，在其它),210(kx点处连续，从而由收敛定理可知 的傅里叶级数收敛，且当 时级数收敛于)(xf x，02)1(当 时级数收敛于 。kx)(xf计算傅里叶系数如下： ndfancos)(100cos1nxdx；)3,2(nxdfbnsi)100sin1(xdcos1nxco1sn)1(2n.,642,0,53,将求得的傅里叶系数代入，得出 的傅里叶级数展开式为：)(xf xkxxf )12sin(3sin1i4)(； .,03.奇函数和偶函数的傅里叶级数定理：设 是周期为 的函数，满足收敛定理的条件，则)(xf2 当 为奇函数时，它的傅里叶系数为 0).,321(sin)(2,1, xdf
7、ban 当 为偶函数时，它的傅里叶系数为)(xf ).,321(0),21,0(cos nbnxdfa下面对这个定理加以证明（1）证 设 为奇函数，即 。按傅里叶系数公式有：)(xf )()(xffndxancos00cos)(1)( nxdff利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以 代替 ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得 00 cos)(1)(cos)(1 nxdfdxnxfan.),210(同理 nxdfbnsi)(00sin11xd)(si)(xf00sin1sin)(1xdxdf).,32(2（2）证 设 为偶函数，即 。)(xf (xff同（1）利用定积分换元法 ndxf
8、ancos)(00cos)(1nxdf)(cs)(1xxf00cs)(oxfdn.,321(cs)(2xfbni100sinsn)(xdxdf1)(i00sis)(1xxf.,2n这个定理说明了：如果 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数)(xf1sinb如果 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数)(xf10.cos2nxa4.傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。设周期为 周期函数 的傅里叶级数为2)(xf10)sinco(2nxba其中系数 为b,).,321(sin)(1,0co xdfban利用欧拉公
9、式，2cosititeiett2sn于是式化为10 )(2)(2n inxinixi ebea.)2210ninxinxebaeba记nnncibacibac2,2,20 ),32,1(则式就表示为.)210ninxixeca0)(iec .)iniinx式即为傅里叶级数的复数形式。系数 的计算nc根据式可得出 dxfac)(2102nnibcnxdfixdf si)(cos)(1nif2；),321()(1dxei2nnibac),321()(1ndxefi将已得的结果合并为：.),0()(2fcixn式就为傅里叶系数的复数形式。傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常用到这种形式。
