1、广义傅里叶级数的简单研究信号作为向量班级：培优班姓名：徐 丰学号：0608190144指导老师：徐天成【内容摘要】在信号和向量之间存在惊人的相似，相似到这个术语“相似”都不能完全表达它们之间的逼真程度。信号不只是像向量，信号简直就是向量！一个向量可以各种不同的方式表示成它的各个分量之和，这取决于坐标的选择。一个信号也能以各种不同方式表示成它的各个分量之和。【ABSTRACT】There exist significant similarities between signals and vectors, and the word “similar” even can hardly comple
2、tely show how much like they are! Signals do not just like vectors, they “are” vectors in fact! A vector can be expressed in all kinds of ways by some of his parts, which is under the control of the choice of coordinate. Meanwhile, a signal can also be taken place by his parts in different ways.【关键字
3、】 信号、向量【正文】特别注释：本文的全部向量将全部用大写黑（粗）体字表示。11 一个向量的分量一个向量是由它的大小和方向表示的。定义两个向量 X和 Y的点积为X*Y=|X|Y|cos （1）其中， 是两个向量之间的角度。利用这个定义能将向量 X的长度|X|表示为=X*X （2）2|X设 X沿 Y的分量是 cY，如右图所示。几何上，X 沿 Y的分量就是 X在 Y上的投影，并通过从 X的顶端朝着向量 Y画一垂直线得到。由右图，向量 X可以利用向量 Y表示为X=cY+E (3)然而，这并不是利用向量 Y表示向量X的唯一方式。右图给出了无限多种可能性中的两种，式如X=c1Y+E1=c2Y+E2 (4
4、)在这三种表示中，每一种 X都是通过向量 Y加上另一个称为误差向量的向量表示的。如果用 cY近似 XXcY （5）近似误差是向量 E=X-cY。同理，在这两个图中的近似误差是 E1和 E2。第一幅的近似中具有唯一性的这一点是这个误差向量为最小的一个。现在可以从数学上定义一个向量 X沿向量 Y的分量是 cY，其中 c选成使误差向量 E=X-cY的长度为最小。现在，X 沿 Y的分量的长度是|X|cos,这点从投影图也看出它也就是 c|Y|。因此C|Y|=|X|cos上式两边均乘以|Y|得到c =|X|Y|cos=X*Y2|Y因此有(6)Xc*|1*2由投影图很显然，当 X和 Y是垂直或正交时，那么
5、 X沿 Y有零分量，结果c=0。再由(6)式可以定义，若两个向量的内积（标量积或点积）为零，即若X*Y=0 (7)则 X和 Y是正交的。12 信号比较和信号分量向量分量和正交性的概念可以推广到信号方面去。现在考虑在区间（t1,t2）内用另一个实信号 y(t)近似某一实信号 x(t)的问题：x(t)cy(t) t1tt2 (8)在这个近似中误差 e(t)是(9)ttcyxte其 余 210)()( 现在选取一个“最佳近似”的准则。已经知道，信号能量是一个信号大小的一种可能的度量，对于最佳近似将采用一种准则就是是误差信号 e(t)的幅度或能量在区间（t1,t2）内为最小。这个能量 Ee给出为212
6、21)()(Etttte dtcyxd应该注意到上式右边是一个以 t作为哑元变量的定积分，所以 Ee是参数 c(不是 t)的函数，并且对于某个选定的 c值 Ee为最小。为了使 e最小，一个必要条件是（10）0dcEe或者 0)(dc212tt dtyx将积分里面的平方项展开可得 0)(dc)(2)(dc 21121 tttttt tytyxcdtx从上式可得 2121 0)()(tttt tyctyx和(11)dtyxEdtytxcttyttt )(1)(221由(6)式与(10)式所指出的，可以看到向量与信号特性之间惊人的相似性。从这两个并列的表达式显而易见：两个信号乘积下的面积相当于两个向
7、量的内积（标量积或点积） 。事实上，x(t)和 y(t)乘积下的面积才称为 x(t)和 y(t)的内积并记为(x,y)。一个信号的能量是信号与其自身的内积，并相应于向量长度的平方（这就是向量与其自身的内积） 。总结上面的讨论，若一个信号 x(t)是用另一个信号 y(t)近似为x(t)cy(t)那么，使在这个近似中误差信号能量最小的最佳 c值由（11）式给出。由向量提供的思路就说信号 x(t)含有 cy(t)分量，其中 c由（11）式给出。值得注意的是，在向量专业术语中，cy(t)是 x(t)在 y(t)上的投影，继续进行这种类比而说若一个具有 y(t)形式的信号 x(t)的分量是零的话（也即
8、c=0）,那么信号 x(t)和 y(t)在区间（t1,t2）内正交。因此定义，若（12）0)(21ttdtyx则实信号 x(t)和 y(t)在区间(t1,t2)内是正交的。12 延伸到信号到目前为止都是局限为 t的实函数信号。为了将这些结果推广到 t的复函数，再次考虑在区间(t1tt2)内用信号 y(t)近似信号 x(t)的问题：x(t)cy(t) （13）其中 x(t)和 y(t)都可以为 t的复函数。复信号 y(t)在区间(t1,t2)内的能量 Ey为 21|)(|ttydtE这种情况下系数 c和误差e(t)=x(t)-y(t) (14)都是复数（一般来说） 。对于“最佳”近似，要选取 c
9、以使误差信号 e(t)的能量 Ee为最小。现在（15）212|)(|ttedtyxE由于(16)*|*)(| 22 uvvuvuv 经过运算以后可利用这个结果将(15)式重新整理为 2212212 |)(|)(1|)(| ttyytt taye dtxEcdtxEdtxE由于上式右边前两项与 c无关，显然为使 Ee最小应选取 c使右边第三项为零，这就得出（17）21)(*Ettydtxc基于这个结果，需要重新定义复数情况下的正交性如下：若（18）0)(*0)(*21221 tttt dtxdtx或那么两个复函数 x1(t)和 x2(t)在区间(t1tt2)内正交。这就是正交性的一般定义，当函数均为实数时就简化为(12)式。【参考文献】线性代数与解析几何 俞正光 李永乐 詹汉生 编信号与系统第二版 徐天成 谷亚林 钱玲 编著线性系统与信号第 2版 B.P.LATHI 著，刘树棠 王薇洁 译。信号与系统基础教程第三版 Edward W.Kamen Bonnie S.Heck 著高强 戚银城 余萍 等译
