1、一 三角级数三角函数系的正交性 二 函数展开成傅里叶级数 10 7傅里叶级数 三 正弦级数和余弦级数 一 三角级数三角函数系的正交性 三角级数 形如 的级数称为三角级数 其中a0 an bn n 1 2 都是常数 1 cosx sinx cos2x sin2x cosnx sinnx 三角函数系 三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 上的积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于零 提示 提示 提示 二 函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 设f x 是周期为2 的周期函数 且能展开成三角级数 且假定三角级数可逐项积分 则 二 函数展开成傅里叶级数 设f x 是
2、周期为2 的周期函数 且能展开成三角级数 且假定三角级数可逐项积分 则 系数a0 a1 b1 叫做函数f x 的傅里叶系数 傅里叶系数 傅里叶级数 然而 函数f x 的傅里叶级数是否一定收敛 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f x 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的 一个定义在 上周期为2 的函数f x 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f x 的傅里叶级数 定理 收敛定理狄利克雷充分条件 设f x 是周期为2 的周期函数 如果它满足 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f x 的傅里叶级数收敛 并且 当x是f x 的连续点时 级数收敛
3、于f x 当x是f x 的间断点时 级数收敛于 傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f x 的傅里叶级数收敛 当x k 时傅里叶级数收敛于 当x k 时级数收敛于f x 解所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f x 的傅里叶级数收敛 因为傅里叶系数为 所以f x 的傅里叶级数展开式为 x x 0 2 f x 的图形 和函数图形 解所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f x 的傅里叶级数收敛 当x 2k 1 时傅里叶级数收敛于 当x 2k 1 时级数收敛于f x 解所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f x 的傅里叶级数收敛 所以当x 2k 1 时f x 的
4、傅里叶级数展开式为 因为傅里叶系数为 周期延拓 设f x 只在 上有定义 我们可以在 或 外补充函数f x 的定义 使它拓广成周期为2 的周期函数F x 在 内 F x f x 解所给函数在区间 上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 上收敛于f x 所以f x 的傅里叶级数展开式为 因为傅里叶系数为 解所给函数在区间 上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 上收敛于f x 三 正弦级数和余弦级数 奇函数与偶函数的傅里叶系数 an 0 n 0 1 2 bn 0 n 1 2 当
5、f x 为奇函数时 f x cosnx是奇函数 f x sinnx是偶函数 故傅里叶系数为 当f x 为偶函数时 f x cosnx是偶函数 f x sinnx是奇函数 故傅里叶系数为 正弦级数和余弦级数 如果f x 为奇函数 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 如果f x 为偶函数 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 例4设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为f x x 将f x 展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件 因此f x 的傅里叶级数收敛 当x 2k 1 k 0 1 2 时 傅里叶级数收敛于 当x 2k 1 k 0 1 2 时 傅里叶级数收敛于
6、f x f x 的图形 和函数的图形 解所给函数满足收敛定理的条件 因此f x 的傅里叶级数收敛 当x 2k 1 k 0 1 2 时 傅里叶级数收敛于f x 因为f x 在 上是奇函数 其傅里叶级数是正弦级数 而 所以f x 的傅里叶级数展开式为 x x 3 例4设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为f x x 将f x 展开成傅里叶级数 当x 2k 1 k 0 1 2 时 傅里叶级数收敛于 解函数u t 在整个数轴上连续 满足收敛定理的条件 因此u t 的傅里叶级数处处收敛于u t 因为u t 是周期为2 的偶函数 其傅里叶级数是余弦级数 所以u t 的傅里叶级数展开式为 而
7、所以u t 的傅里叶级数展开式为 而 t 因为u t 是周期为2 的偶函数 其傅里叶级数是余弦级数 解函数u t 在整个数轴上连续 满足收敛定理的条件 因此u t 的傅里叶级数处处收敛于u t 设函数f x 定义在区间 0 上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间 0 内补充函数f x 的定义 得到定义在 上的函数F x 使它在 上成为奇函数 偶函数 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 偶延拓 限制在 0 上 有F x f x 奇延拓与偶延拓 奇延拓 偶延拓 例6将函数f x x 1 0 x 分别展开成正弦级数和余弦级数 先求正弦级数 解 为此对函数f x 进行奇延拓 函数的正弦级数展开式为 正弦级数的系数为 在端点x 0及x 处 级数的和为零 0 x 再求余弦级数 为此对函数f x 进行偶延拓 函数的余弦级数展开式为 0 x a0 p 2 余弦级数的系数为 例6将函数f x x 1 0 x 分别展开成正弦级数和余弦级数 解
