1、9.5.1 三角函数系的正交性,9.5 傅里叶级数,9.5.2 将函数展开成傅里叶级数,9.5.3 正弦级数与余弦级数,9.5 傅里叶级数,9.5.1 三角函数系的正交性,1三角级数,简谐振动： y=Asin(t+ ),A为振幅，为角频， 为初相。,其中A0 ,An, n为常数。,由三角公式，我们有Ansin(nt+ n )=Ansin n cosnt+A ncos n sinnt,则(1)式右端变型为,形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn 为常数。,an=Ansin n ，bn=Ancosn ,t=x，,2.三角函数系的正交性,三角函数系,9.5.2 将函数展开成傅里叶级数
2、,问题:,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,傅里叶系数,设f (x)是周期T = 2的周期函数，且能展开成 三角级数：,傅里叶系数,傅里叶级数,问题:,9.5.1(收敛定理,注意:,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,狄利克雷(Dirichlet)充分条件),题目类型：,(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函数 展开成傅立叶级数。,方法：,(i)先求傅里叶系数,(ii) 写出对应的傅里叶级数,(iii)根据收敛定理把上式写成等式,解,例1,所求函数的傅氏展开式为,所给函数满足狄利克雷充分条件.,方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在(，)上的
3、周期函数F(x).,将定义在-， 上的 函数f(x) 展开成傅立叶级数。,(iii)限制在-， 再用收敛定理得到f(x)的傅立 叶级数展开式。,(ii) F(x)的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 .,例2,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,9.5.3 正弦级数和余弦级数,1.奇函数和偶函数的傅里叶级数,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,证明,奇函数,同理可证(2),定义,偶函数,定理证毕.,解,所给
4、函数满足狄利克雷充分条件.,例3,2、函数展开成正弦级数或余弦级数,做法：奇延拓,偶延拓,解,(1)求正弦级数.,例4,(2)求余弦级数.,总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：,(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函数f(x) 展开成傅立叶级数。,方法：应对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在（，）上的周期函数F(x), 将F(x)的傅立叶级数限制在-， 再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。,方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。,(2) 将定义在-， 上的 函数f(x) 展开成傅立叶级数。,方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义在 (- , 上的函数F(x), F(x)的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在0 再用收敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。,(3) 将定义在0， 上的 函数f(x) 展开成正弦（余弦）级数。,
