1、5.与向量有关的压轴小题 1.(2017四川成都一 诊 )已知 A， B 是圆 O： x2 y2 4 上的两个动点， 2， |AB | OC 53OA 23.若 M 是线段 AB 的中点，则 的值为 ( ) OB OC OM A.3 B.2 3C.2 D. 3 答案 A 解析 因 为 点 M 是 线 段 AB 的中点， 所以 ， 2，所以 ABO 是等 边 三角形，即 ， 60， OM 12(OA OB ) |OA | |OB | |AB | OA OB 22cos 60 2， OA OB OC OM (53OA 23OB )(12OA 12OB ) 2 2 56OA 13OB 12OA OB
2、 22 22 2 3，故 选 A. 56 13 122.( 2017辽 宁葫芦 岛 月考 )已知点 O 为 ABC 内一点， AOB 120， OA 1， OB 2，过O 作 OD 垂直 AB 于点 D，点 E 为线段 OD 的中点，则 的值为 ( ) OE EA A. B. 328 314C. D. 27 514答案 A 解析 S OAB OAOBsin AOB ， 1232AB ， OA2 OB2 2OAOBcos 120 7根据等面 积 法得 OD ， 217所以 2 2 . OE EA OE (ED DA ) OE ED |OE | (12217) 3283.(2017浙江温州中学月考
3、 )在 ABC 中，已知 9， sin B cos Asin C， S ABC 6， PAB AC 为线段 AB 上的点，且 x y ，则 xy 的最大值为 ( ) CP CA |CA |CB |CB |A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由 题设 sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C sin Ccos A， 即 sin Acos C 0，也即 cos C 0， C 90， 又 bccos A 9，故 b2 9，即 b 3. ab 6，故 a 4，c 5， 12故建立如 图 所示直角坐 标 系 xOy，则 A(3，0)，B(0，4)，则 由 题设
4、 可知 P(x，y)， 直 线 AB 的方程 为 1 且 x 0，y 0， x3 y4 1 2 ，即 xy 3，当且 仅 当 x ，y 2 时 “ ”成立，故 选 C. x3 y4 xy12 324.(2017运城期中 )已知点 O 是 ABC 内部一点，且满足 2 3 4 0，则 AOB，OA OB OC BOC， AOC 的面积之比依次为 ( ) A.4 2 3 B.2 3 4 C.4 3 2 D.3 4 5 答案 A 解析 如 图 所示，延 长 OA，OB，OC，使 OD 2OA，OE 3OB，OF 4OC， 2 3 4 0， OA OB OC 0， OD OE OF 即 O 是 DEF
5、 的重心，故 DOE， EOF， DOF 的面 积 相等， 不妨令它 们 的面 积 均 为 1，则 AOB 的面 积为 ， BOC 的面 积为 ， AOC 的面 积为 ，故16 112 18 AOB， BOC， AOC 的面 积 之比依次 为 4 2 3. 16 112 18故 选 A. 5.若 a， b， c 均为单位向量，且 ab 0，则 |a b c|的最小值为 ( ) A. 1 B.1 2C. 1 D. 2 2答案 A 解析 ab 0，且 |a| |b| |c| 1， |a b| ， 2又 (a b)c |a b|c|cosa b，c cosa b，c， 2 |a b c|2 a2 b
6、2 c2 2ab 2ac 2bc 3 2(a b)c 3 2 cosa b，c， 2 当 cos(a b，c) 1 时 ，|a b c| 3 2 ( 1)2， 2min 2 2 |a b c|的最小 值为 1. 26.已知向量 m (sin 2x， 1)， n ， f(x) (m n)m，则函数 f(x)的最小正周期与(cos 2x， 32)最大值分别为 ( ) A.， 3 B. ， 3 22 2 22C.， D. ， 3 72 2答案 B 解析 m n ， (sin 2x cos 2x，52)则 f(x) (m n)m sin 2x(sin 2x cos 2x) sin22x sin 4x
7、52 12 52 (cos 4x sin 4x) 3 sin 3， 1222 (4x 4) f(x)的最小正周期 T ，最大 值为 3 ，故 选 B. 24 2227.(2017湖北部分重点中学 联 考 )已知 P 是 ABC 所在平面内一点，若 ，则AP 34BC 23BA PBC 与 ABC 的面积的比为 ( ) A. B. C. D. 13 12 23 34答案 A 解析 在 线 段 AB 上取 D 使 AD AB，则 ，过 A 作直 线 l 使 l BC，在 l 上取点 E23 AD 23BA 使 ，过 D 作 l 的平行 线 ，过 E 作 AB 的平行 线 ，设 交点 为 P，则 由
8、平行四 边 形法 则 可AE 34BC 得 ， AP 34BC 23BA 设 PBC 的高 为 h， ABC 的高 为 k，由三角形相似可得 h k 1 3， PBC 与 ABC 有公共的底 边 BC， PBC 与 ABC 的面 积 的比 为 ，故 选 A. 138.(2017 届福建福州外国 语 学校期中 )已知向量 a， b 满足 |a| 2 |b| 0，且关于 x 的函数 f(x)2 2x3 3|a|x2 6abx 7 在实数集 R 上单调递增，则向量 a， b 的夹角的取值范围是 ( ) A. B. 0，6 0，3C. D. 0，4 6，4答案 C 解析 求 导 可得 f (x) 6x
9、2 6|a|x 6ab，则 由函数 f(x) 2x3 3|a|x2 6abx 7 在 实 数集 R上 单调递 增，可得 f (x) 6x2 6|a|x 6ab 0 恒成立，即 x2 |a|x ab 0 恒成立， 故判 别 式 a2 4ab 0 恒成立，再由 |a| 2 |b| 0，可得 8|b|2 8 |b|2cosa，b， 2 2 cosa，b ， 22又 a，b 0， a，b . 0，49.(2017湖南 长 沙 长 郡中学 )已知点 M(1， 0)， A， B 是椭圆 y2 1 上的动点，且 x24 MA MB 0，则 的取值范围是 ( ) MA BA A. B.1， 9 23，1C.
10、D. 23，9 63，3答案 C 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x1 1，y1)， (x2 1，y2)， (x1 x2，y1 y2)，由 题MA MB BA 意有 (x1 1)(x2 1) y1y2 0， MA MB 所以 (x1 1)(x1 x2) y1(y1 y2) (x1 1)x1 (x1 1)x2 y y1y2 MA BA 21 x x1 y (x1 1)(x2 1) y1y2 (x1 1) 21 21 x x1 1 x x1 1 x 2x1 2 21 1421 3421 2 ，x1 2，2. 34(x1 43) 23所以当 x 2 时 ， 有最大 值 9， MA
11、 BA 当 x 时 ， 有最小 值 ，故 选 C. 43 MA BA 2310.设双曲线 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近x2a2 y2b2线于 A， B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP OA OB (， R)， ，则该双曲线的离心率为 ( ) 18A. B.2 322C. D. 233 2答案 D 解析 双曲 线 的 渐 近 线为 y x，焦点 F(c，0)，则 A ，B ，P ，因 为 ba (c，bca) (c， bca) (c，b2a) OP ，所以 ，所以 1， ， OA OB (c，b2a)
12、( c， bca) bc解得 ， ，又由 ，得 ，解得 ， c b2c c b2c 18 c2 b24c2 18 a2c2 12所以 e ，故 选 D. 211.若点 O， F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则 的x24 y23 OP FP 最大值为 _. 答案 6 解析 设 P(x，y)，则 (x，y)(x 1，y) x2 x y2，又点 P 在 椭圆 上，故 1， OP FP x24 y23所以 x2 x 3 x2 x2 x 3 (x 2)2 2，又 2 x 2，所以当 x 2 时 ， (x 2)2 2 取34 14 14 14得最大 值为 6，即 的最大 值为
13、 6. OP FP 12.(2017江西 抚 州市七校 联 考 ) 在 ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a2b2 c2 ab，且 acsin B 2 sin C，则 _. 3 3 CA CB 答案 3 解析 由 a2 b2 c2 ab，得 2cos C ，即 cos C ，由 acsin B 2 sin C，得 abc 23 332 3 3c，即 ab 2 ， abcos C 2 3. 3 CA CB 33213.(2017 届河南开封月考 )过双曲线 1(a 0， b 0)的左焦点 F( c， 0)(c 0)，作圆x2a2 y2b2x2 y2 的切线，切点
14、为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 2 ，则双曲线a24 OP OE OF 的离心率为 _. 答案 102解析 由 2 ，得 OP OE OF ( )可知， E 为 PF 的中点，令右焦点 为 F ，则 O 为 FF 的中点， PF 2OEOE 12OF OP a， E 为 切点， OE PF，PF PF，|PF| |PF | 2a，|PF| 3a，|PF|2 |PF |2 |FF |2， 则 10a2 4c2，e . 10214.已知 (1， 0)， (1， 1)， (x， y) .若 0 1 2 时， z (mOA OB OA OB xm yn0， n 0)的最大值为 2，则 m n 的最小值为 _. 答案 52 6解析 (x，y) ( ，) x y， y， OA OB 所以 0 x y 1 y 2，可行域 为 一个平行四 边 形及其内部，由直 线 z 斜率小于零知xm yn直 线 z 过 点 (3，2)取最大 值 ，即 2， xm yn 3m 2n因此 m n (m n) ，当且 仅 当 时 取等(3m 2n)2 12(5 3nm 2mn) 12(5 23nm2mn) 52 6 3nm 2mn号 .
