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压轴小题突破练6数学.pdf

上传人:eco 文档编号:6993370 上传时间:2019-04-29 格式:PDF 页数:7 大小:862.33KB
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1、6.与新定义、推理证明有关的压轴小题 1.设 A, B 是有限集,定义 d(A, B) card(A B) card(A B),其中 card(A)表示有限集 A 中的元素个数,命题 :对任意有限集 A, B, “A B”是 “d(A, B) 0”的充要条件; 命题 :对任意有限集 A, B, C, d(A, C) d(A, B) d(B, C). 下列说法正确的是 ( ) A.命题 和命题 都成立 B.命题 和命题 都不成立 C.命题 成立,命题 不成立 D.命题 不成立,命题 成立 答案 A 解析 命 题 显 然正确,通 过 如下 Venn 图 可知 d(A,C)表示的区域不大于 d(A,

2、B) d(B,C)的区域,故命 题 也正确,故 选 A. 2.已知集合 A (x, y)|x2 y2 1, x, y Z, B (x, y)|x| 2, |y| 2, x, y Z,定义集合 AB (x1 x2, y1 y2)|(x1, y1) A, (x2, y2) B,则 AB 中元素的个数为 ( ) A.77 B.49 C.45 D.30 答案 C 解析 因 为 集合 A (x,y)|x2 y2 1,x,y Z所以集合 A 中有 5 个元素 (即 5 个点 ),集合 B (x,y)|x| 2,|y| 2,x,y Z中有 25 个元素 (即 25 个点 ),集合 AB (x1 x2,y1y

3、2)|(x1,y1) A,(x2,y2) B的元素可看作正方形 A1B1C1D1 中的横 纵 坐 标 都 为 整数的点 (除去四个 顶 点 ),即 77 4 45(个 ). 3.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 .那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(其中 x表示不大于 x 的最大整数 )可以表示为 ( ) A.y B.y x 510 x 410C.y D.y x 310 x10答案 C 解析 根据 题 意,当 x 16 时 ,y 1,所以 选项 A,B 不正确,当 x

4、17 时 ,y 2,所以 D 不正确,故 选 C. 4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( ) A.设数列 an的前 n 项和为 Sn,由 an 2n 1,求出 S1 12, S2 22, S3 32, ,推断: Sn n2 B.由 f(x) xcos x 满足 f( x) f(x)对 x R 都成立,推断: f(x) xcos x 为奇函数 C.由圆 x2 y2 r2 的面积 S r2,推断:椭圆 1(a b 0)的面积 S ab x2a2 y2b2D.由 (1 1)2 21, (2 1)2 22, (3 1)2 23, ,推断:对一切 n N*, (n 1)2 2n 答案 A 解析

5、选项 A 由一些特殊事例得出一般性 结论 ,且注意到数列 an是等差数列,其前 n 项 和Sn n2,选项 D 中的推理属于 归纳 推理,但 结论 不正确 . n1 2n 125.若数列 an满足 0, n N*, p 为非零常数,则称数列 an为 “梦想数列 ”.已1an 1 pan知正项数列 为 “梦想数列 ”,且 b1b2b3b99 299,则 b8 b92 的最小值是 ( ) 1bnA.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 依 题 意可得 bn 1 qbn,则 数列 bn为 等比数列 .又 b1b2b3b99 299 b ,则 b50 2.b89950 b92 2 2b50 4,

6、当且 仅 当 b8 b92 2,即 该 数列 为 常数列 时 取等号 . b8b926.(2017 届广西南宁、梧州 联 考 )给出定义:设 f (x)是函数 y f(x)的导函数, f (x)是函数f (x)的导函数,若方程 f (x) 0 有实数解 x0,则称点 (x0, f(x0)为函数 y f(x)的 “拐点 ”.已知函数 f(x) 3x 4sin x cos x 的拐点是 M(x0, f(x0),则点 M( ) A.在直线 y 3x 上 B.在直线 y 3x 上 C.在直线 y 4x 上 D.在直线 y 4x 上 答案 B 解析 f (x) 3 4cos x sin x,f (x)

7、4sin x cos x,所以 4sin x0 cos x0 0,所以 f(x0)3x0, 故 M(x0,f(x0)在直 线 y 3x 上,故 选 B. 7.能够把圆 O: x2 y2 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数 ”,下列函数不是圆 O 的 “和谐函数 ”的是 ( ) A.f(x) ex e x B.f(x) ln 5 x5 xC.f(x) tan D.f(x) 4x3 x x4答案 A 解析 由 题 意 “和 谐 函 数 ”的 图 象 过 原 点 且 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ,即 其 为 奇 函 数 ,对 A,f( x) e x ex

8、f(x),是偶函数; 对 B,f( x) ln ln f(x),是奇函数; 对 C,5 x5 x 5 x5 xf( x) tan tan f(x),是 奇 函 数 ;对 D,f( x) 4( x)3 ( x) 4x3 x f(x),( x4) x4是奇函数,故 选 A. 8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的 “梵塔游戏 ”:有 3 个柱子甲、乙、丙,在甲柱上现有 4 个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上 (如图 ),把这 4 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且 3 个柱子上的盘子始终保

9、持小的盘子不能放在大的盘子之下,设游戏结束需要移动的最少次数为 n,则 n 等于 ( ) A.7 B.8 C.11 D.15 答案 C 解析 由 题 意得,根据甲乙丙三 图 可知最上面的两个是一 样 大小的,所以比三个 盘 子不同 时操作的次数 (23 1)要多,比四个 盘 子不同 时 操作的次数 (24 1)要少,相当于与操作三个不同盘 子的 时 候相比,最上面的那个 动 了几次,就会增加几次,故游 戏结 束需要移 动 的最少次数为 11. 9.定义域为 a, b的函数 y f(x)图象的两个端点为 A, B, M(x, y)是 f(x)图象上任意一点,其中 x a (1 )b, 0, 1.

10、已知向量 (1 ) ,若不等式 | | k 恒成立,则ON OA OB MN 称函数 f(x)在 a, b上 “k 阶线性近似 ”.若函数 y x 在 1, 2上 “k 阶线性近似 ”,则实数1xk 的取值范围为 ( ) A.0, ) B. C. D. 112, ) 32 2, ) 32 2, )答案 D 解析 由 题 意可知, A(1,0),B ,M ,N , (2,32) (2 ,2 12 ) (2 ,321 ) | | , MN |32 32 2 12 | |2 2 12 32| 2 ,当且 仅 当 , 2 时 ,等号成立, 2 2 12 2 2 12 2 2 2 12 2又 0,1,

11、2 1,2, , 2 2 12 32 max , |2 2 12 32| 32 2即 实 数 k 的取 值 范 围 是 . 32 2, )10.(2017 届四川遂宁、广安、眉山、内江四市 联 考 )已知函数 y f(x)与 y F(x)的图象关于 y 轴对称,当函数 y f(x)和 y F(x)在区间 a, b同时递增或同时递减时,把区间 a, b叫做函数y f(x)的 “不动区间 ”,若区间 1, 2为函数 y 的 “不动区间 ”,则实数 t 的取值范围|2x t|是 ( ) A.(0, 2 B. C. D. 4, ) 12, ) 12,2 12,2答案 C 解析 易知 y |2x t|与

12、 y 在 1,2上 单调 性相同,当两个函数 递 增 时 ,y |2x t|与 y|(12)x t| 的 图 象如 图 1 所示,易知 Error!解得 t 2; |(12)x t| 12当两个函数 递 减 时 ,y |2x t|的 图 象如 图 2 所示,此 时 y |2x t|关于 y 轴对 称的函数 y不可能在 1,2上 为 减函数 . |(12)x t|综 上所述, t 2,故 选 C. 1211.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据以上排列规律,数阵中第 n(n 3)行从左至右的第 3 个数是 _. 答案 n2 n 62解析 前 n 1 行

13、共有正整数 1 2 (n 1) 个,即 个,因此第 n 行从左至nn 12 n2 n2右的第 3 个数是全体正整数中第 3 个,即 为 . n2 n2 n2 n 6212.设数列 an的前 n 项和为 Sn,若 为常数,则称数列 an为 “精致数列 ”. 已知等差数SnS2n列 bn的首项为 1,公差不为 0,若数列 bn为 “精致数列 ”,则数列 bn的通项公式为_. 答案 bn 2n 1(n N*) 解析 设 等差数列 bn的公差 为 d,由 为 常数, 设 k 且 b1 1,得 n n(n 1)d kSnS2n SnS2n 12,即 2 (n 1)d 4k 2k(2n 1)d, 2n 1

14、22n2n 1d整理得 (4k 1)dn (2k 1)(2 d) 0, 因 为对 任意正整数 n 上式恒成立, 则 Error!解得 d 2,k , 14所以数列 bn的通 项 公式 为 bn 2n 1(n N*). 13.已知 cos , 3 12cos cos , 5 25 14cos cos cos , 7 27 37 18, (1)根据以上等式,可猜想出的一般结论是 _; (2)若数列 an中, a1 cos , a2 cos cos , a3 cos cos cos , , 3 5 25 7 27 37前 n 项和 Sn ,则 n _. 1 0231 024答案 (1)cos cos

15、 cos (n N*) (2)10 2n 1 22n 1 n2n 1 12n解析 (1)从 题 中 所 给 的 几 个 等 式 可 知 ,第 n 个 等 式 的 左 边 应 有 n 个 余 弦 相 乘 ,且 分 母 均 为 2n1,分 子 分 别 为 ,2,n,右 边 应 为 ,故 可 以 猜 想 出 结 论 为 cos cos cos 12n 2n 1 22n 1 (n N*). n2n 1 12n(2)由 (1)可知 an , 12n故 Sn 1 , 121 (12)n1 1212n 2n 12n 1 0231 024解得 n 10. 14.(2016四川 )在平面直角坐标系中,当 P(x

16、, y)不是原点时,定义 P 的 “伴随点 ”为 P;当 P 是原点时,定义 P 的 “伴随点 ”为它自身,平面曲线 C 上所有点的( yx2 y2, xx2 y2)“伴随点 ”所构成的曲线 C 定义为曲线 C 的 “伴随曲线 ”.现有下列命题: 若点 A 的 “伴随点 ”是点 A ,则点 A 的 “伴随点 ”是点 A; 单位圆的 “伴随曲线 ”是它自身; 若曲线 C 关于 x 轴对称,则其 “伴随曲线 ”C 关于 y 轴对称; 一条直线的 “伴随曲线 ”是一条直线 . 其中的真命题是 _.(写出所有真命题的序号 ) 答案 解析 对 于 ,若令 A(1,1),则 其伴随点 为 A ,而 A 的

17、伴随点 为 ( 1,(12, 12) (12, 12)1),而 不 是 P.故 错 误 ;对 于 ,令 单 位 圆 上 点 的 坐 标 为 P(cos x,sin x),其 伴 随 点 为 P (sin x,cos x)仍在 单 位 圆 上,故 正确; 对 于 ,设 曲 线 f(x,y) 0 关于 x 轴对 称, 则 f(x, y) 0 与曲线 f(x,y) 0 表示同一曲 线 ,其伴 随曲 线 分 别为 f 0 与 f ( yx2 y2, xx2 y2) ( yx2 y2, xx2 y2)0 也表示同一曲 线 ,又因 为 其伴随曲 线 分 别为 f 0 与 f 0( yx2 y2, xx2 y2) ( yx2 y2, xx2 y2)的 图 象关于 y 轴对 称,所以 正确; 对 于 ,反例 为 直 线 y 1,取三个点 A(0,1),B(1,1),C(2,1),这 三个点的伴随点分 别 是 A (1,0),B ,C ,而 这 三点不在同一条(12, 12) (15, 25)直 线 上 .故 错误 .所以正确的序号 为 .

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