1、4.与解析几何有关的压轴小题 1.在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( ) A. B. 45 34C.(6 2 ) D. 5 54答案 A 解析 设 直 线 l：2x y 4 0.因 为 |OC| |AB| d1，其中 d1 为 点 C 到直 线 l 的距离，所以 圆12心 C 的 轨 迹 为 以 O 为 焦点， l 为 准 线 的抛物 线 .圆 C 半径最小 值为 d2 ，其中 d212 12 45 25为 点 O 到直 线 l 的距离， 圆 C 面 积 的最小 值为 2 .故
2、 选 A. (25) 452.设 F1， F2 分别是椭圆 x2 1(0 b 1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A，y2b2B 两点， |AB| ，直线 l 的斜率为 1，则 b 的值为 ( ) 43A. B. 1333C. D. 1222答案 D 解析 直 线 l 的方程 为 y x c，其中 c ， 1 b2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A，B 两点的坐 标满 足方程 组 Error! 化 简 得 (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0， 则 x1 x2 ，x1x2 . 2c1 b2 1 2b21 b2因 为 直 线 AB 的斜率 为 1， 所以 |A
3、B| |x2 x1|，即 |x2 x1|， 2 43 2则 (x1 x2)2 4x1x2 ， 89 8b41 b22解得 b . 223.(2017 届 枣 庄期末 )过抛物线 y2 4ax(a 0)的焦点 F 作斜率为 1 的直线 l， l 与离心率为 e的双曲线 1(b 0)的两条渐近线的交点分别为 B， C.若 xB， xC， xF 分别表示 B， C，x2a2 y2b2F 的横坐标，且 x xBxC，则 e 等于 ( ) 2FA.6 B. C.3 D. 6 3答案 D 解析 由 题 意，知 F(a，0)， 则 直 线 l 的方程 为 y x a， 双曲 线 的 渐 近 线 方程 为 y
4、 x， ba 直 线 l 与 渐 近 线 的交点横坐 标 分 为 ， ， a2a b a2a b又 x xBxC， 2F即 a2 ，整理得 2， a2a b a2a b b2a2 e ，故 选 D. ca 1 (ba)2 34.(2017 届河北省 沧 州市第一中学月考 )过椭圆 1(a b 0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线x2a2 y2b2交椭圆于点 P， F2 为右焦点，若 F1PF2 60，则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 1222 13 33答案 D 解析 由 题设 |PF2| 2|PF1|，则 |PF1| ，|PF2| ，所以由勾股定理可得 |F1F2| 2c，2
5、a3 4a3 23a3故 该椭圆 的离心率是 ，故 选 D. 335.已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2(其OA OB 中 O 为坐标原点 )，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值为 ( ) A.2 B.3 C. D. 1728 10答案 B 解析 由 题 意得 F ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 y ，x2 y ，y y y1y2 2，y1y2 2(14，0) 21 2 212或 y1y2 1， A，B 位于 x 轴 两 侧 ， y1y2 2，两面 积 之和 为 S |x1y2 x2y1| |y1| |y y2
6、y y1| |y1| |y2 y1| |y1|12 12 14 12 21 2 12 14 18 |y1| |2y1 y1| 18 3，当且 仅 当 |y1| 时 “ ”成立 . |2y1 98y1| |2y1| |98y1| 436.(2017 届山西大学附中模 拟 )双曲线 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，x2a2 y2b2过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A， B 两点，若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2 等于 ( ) A.1 2 B.4 2 2 2C.5 2 D.3 2 2 2答案 C 解析 设 |AF1| |AB| m，则 |BF1
7、| m，|AF2| m 2a，|BF2| m 2a， 2 2 |AB| |AF2 BF2| m， m 2a m 2a m，解得 4a m， 2 2 |AF2| m， (1 22)在 Rt AF1F2 中，由勾股定理得 4c2 m2. (52 2) 4a m， 2 4c2 8a2， (52 2) e2 5 2 . 27.(2017 届河南开封月考 )双曲线 C： 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1( c，x2a2 y2b20)， F2(c， 0)， M， N 两点在双曲线 C 上，且 MN F1F2， |F1F2| 4|MN|，线段 F1N 交双曲线C 于点 Q，且 |F1Q| |Q
8、N|，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A.2 B. 3C. D. 5 6答案 D 解析 由于 MN F1F2，|F1F2| 4|MN|， 则 |MN| ， c2设 N ，又 F1( c，0)， (c4，y)且 |F1Q| |QN|，则 Q ，点 N，Q 在双曲 线 上 满 足方程，有 1， 1，( 3c8，y2) c216a2 y2b2 9c264a2 y24b2消去 y 得 e2 6，则 e . 68.(2017日照模 拟 )已知双曲线 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲x2a2 y2b2线右支上一点 (异于右顶点 )， PF1F2 的内切圆与 x 轴切于
9、点 (2， 0).过 F2 作直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，若使 b2 的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) |AB|A.(1， ) B.(1， 2) 2C.( ， ) D.(2， ) 2答案 C 解析 设 |F1F2| 2c(c 0)， PF1F2 的内切 圆 分 别 与 PF1，F1F2，PF2 切于点 G，H，I， 则 ， . |PG| |PI| |F1G| |F1H|，|F2H| |F2I|由双曲 线 的定 义 知 2a ， |PF1| |PF2| |F1G| |F2I| |F1H| |F2H|又 |F1F2| 2c， |F1H| |F2H|所以 c a，
10、 |F1H| c a，|F2H|所以 H ，即 a 2. (a，0)注意到 这样 的事 实 ：若直 线 l 与双曲 线 的右支交于 A，B 两点， 则 当 l x 轴时 ， |AB|有最小 值 b2；若直 线 l 与双曲 线 的两支各交于一点 (A，B 两点 )，则 当 l y 轴时 ， |AB|有最小 值 2a，2b2a于是，由 题 意得 b2 2a 4，b 2，c 2 ，所以双曲 线 的离心率 e .故 选 C. a2 b2 2 ca 29.(2017 届山西省 临 汾一中、忻州一中、 长 治二中等五校 联 考 )已知抛物线 C： y2 2px(0 p4)的焦点为 F，点 P 为 C 上一
11、动点， A(4， 0)， B(p， p)，且 |PA|的最小值为 ，则 |BF|等2 15于 ( ) A.4 B. C.5 D. 92 112答案 B 解析 设 P(x，y)且 y2 2px，则 |PA| ， x 42 y2 x 42 2px x2 2p 8x 16根号下二次函数的 对 称 轴为 x 4 p (0，4)， 所以在 对 称 轴处 取得最小 值 ，即 ， 4 p2 2p 84 p 16 15解得 p 3 或 5(舍去 )， 所以抛物 线 方程 为 y2 6x，B(3，3 )， 2易知点 B 在抛物 线 上，所以 |BF| 3 ，故 选 B. 32 9210.(2017 届河南省天一
12、大 联 考 )等腰直角 AOB 内接于抛物线 y2 2px(p 0)， O 为抛物线的顶点， OA OB， AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为 ( ) |OM|MF|A. B. C. D. 33 63 233 263答案 C 解析 因 为 等腰直角 AOB 内接于抛物 线 y2 2px(p 0)，O 为 抛物 线 的 顶 点， OA OB， 所以可 设 A(a，a)(a 0)， S AOB a2a 16，得 a 4， 12将 A(4，4)代入 y2 2px，得 p 2，抛物 线 的方程 为 y2 4x，所以 F(1，0). 设 M(x，y)，则
13、x 0，设 t (0t 1)，则 1x 1|OM|MF| x2 y2x 1 x2 4xx 1 1 2x 1 3(x 1)2 ， 3t2 2t 143 3(t 13)2 43 233当 t 时 “ ” 成立 .故 选 C. 1311.过抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 M， N 两点，若 4 ，MF FN 则直线 l 的斜率为 _. 答案 43解析 不妨 设 M(x1，y1)(x1 0，y1 0)，N(x2，y2)， 4 ， y1 4y2， MF FN 设 直 线 l 的斜率 为 kMN，联 立 Error! 得 y2 y p2 0， 2pk y1y2 p
14、2， y2 ，x2 ， p2 p8 kMN . p2 0p8 p2 43根据 对 称可得直 线 l 的斜率 为 . 4312.(2017 届四川成都 诊 断 )如图，抛物线 y2 4x 的一条弦 AB 经过焦点 F，取线段 OB 的中点D，延长 OA 至点 C，使 ，过点 C， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E， G，则|OA| |AC| |EG|的最小值为 _. 答案 4 解析 设 点 A，B 的坐 标为 A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由 题 意可知 2 2 2 ， |EG| |OE| |OG| |yA|12|yB| (2|yA|)(12|yB|) |yAyB|设 直 线 AB
15、的斜率 为 k，联 立直 线 AB 与抛物 线 的方程，由根与系数的关系，得 yAyB p2 4， 由此可知 |EG| 4 ，当且 仅 当 时 等号成立， |yB| 4|yA|即 的最小 值为 4. |EG|13.设双曲线 C： 1(a 0， b 0)的左焦点为 F( c， 0)，点 M， N 在双曲线 C 上， Ox2a2 y2b2是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为 cb，则双曲线2C 的离心率为 _. 答案 2 3解析 设 M(x0，y0)， 四 边 形 OFMN 为 平行四 边 形， x0 ， c2 四 边 形 OFMN 的面 积为 cb， 2 c
16、 cb，即 b， |y0| 2 |y0| 2 M ，代入双曲 线 方程得 2 1， ( c2， 2b) e24 e 1， e 2 . 314.(2017湖南 长 沙一中月考 )已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1， F2.这两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形 .若 |PF1| 10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1e2 的取值范围是 _. 答案 (13， )解析 设椭圆 和双曲 线 的方程分 别为 1 和 1，椭圆 和双曲 线 的半焦距 为 c，x2a21 y2b21 x2a2 y2b2|PF1| m，|PF2| n，其中 m n， 由于 PF1F2 是以 PF1 为 底 边 的等腰三角形， 若 |PF1| 10，即有 m 10，n 2c，由 椭圆 的定 义 可得 m n 2a1， 由双曲 线 的定 义 可得 m n 2a2，即得 a1 5 c，a2 5 c，其中 c 5，再由三角形的两 边 之和大于第三 边 ， 可得 2c 2c 10， 可得 c ，即 c 5， 52 52由离心率公式可得 e1e2 ，由于 1 4，则 由 ，则 e1e2 的ca1ca2 c225 c2 125c2 125c2 125c2 113取 值 范 围 是 .(13， )
