1、压轴小题突破练 1.与函数、不等式有关的压轴小题 1.若 f(x)为奇函数，且 x0 是函数 y f(x) ex 的一个零点，则下列函数中， x0 一定是其零点的函数是 ( ) A.y f( x)e x 1 B.y f(x)ex 1 C.y f(x)e x 1 D.y f( x)e x 1 答案 B 解析 由 题 意可得 f(x0) 0，所以 f( x) e x 0 的一个根 为 x0.即 f( x0) ，即e 0ex-f( x0) 1，方程可 变 形 为 f( x)ex 1 0，又因 为 f(x)为 奇函数，所以 f(x)ex 1 0，即ef(x)ex 1 0 有一个零点 x0. 2.设函数
2、 f(x)在 R 上存在导数 f (x)， x R，有 f( x) f(x) x2，且在 (0， )上 f (x) x，若 f(4 m) f(m) 8 4m，则实数 m 的取值范围为 ( ) A. 2， 2 B.2， ) C.0， ) D.(， 2 2， ) 答案 B 解析 令 g(x) f(x) x2，则 g(x) g( x) 0，函数 g(x)为 奇函数，在区 间 (0， )上， g (x)12 f (x) x 0，且 g(0) 0， 则 函数 g(x)是 R 上的 单调递 减函数，故 f(4 m) f(m) g(4 m) (4 m)2 g(m) m2 12 12 g(4 m) g(m)
3、8 4m 8 4m， 据此可得 g(4 m) g(m)， 4 m m，m 2. 3.设函数 f(x) Error!其中 x表示不超过 x 的最大整数，如 1.5 2， 2.5 2，若直线 y k(x 1)(k 0)与函数 y f(x)的图象只有三个不同的交点，则 k 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12， 13 ( 12， 13) ( 1， 12 ( 1， 12)答案 C 解析 由 题 意得 f(x)的周期 为 1，当 x 0，1)时 ，f(x) x，直 线 y k(x 1)(k 0)过 定点 (1，0)，所以当直 线 y k(x 1)(k 0)过 点 ( 1，1)时 ，与函数
4、y f(x)的 图 象有三个不同的交点，此 时 k ；当直 线 y k(x 1)(k 0)过 点 (0，1)时 ，与函数 y f(x)的 图 象有两个不同的交点，此 时 k12 1，如 图 所示， 因此 k 的取 值 范 围为 . ( 1， 124.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f (x)1， f(0) 4，则不等式 exf(x)ex 3 其中 (e 为自然对数的底数 )的解集为 ( ) A.(0， ) B.( ， 0) (3， ) C.( ， 0) (0， ) D.(3， ) 答案 A 解析 令 g(x) exf(x) ex， g (x) exf(x) exf (x) ex
5、exf(x) f (x) 1， f(x) f (x)1， g (x)0， y g(x)在定 义 域上 单调递 增， exf(x)ex 3， g(x)3， g(0) 3， g(x)g(0)， x0，故 选 A. 5.(2017 届河南天一大 联 考 )设函数 f(x) Error!若关于 x 的方程 f(x) loga(x 1) 0(a 0，且a 1)在区间 0， 5内恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(1， ) B.( ， ) C.( ， ) D.( ， ) 3 45 3 45 3答案 C 解析 要使方程 f(x) loga(x 1) 0(a 0 且 a 1)在区 间
6、 0，5内恰有 5 个不同的根，只需 y f(x)与 y loga(x 1)的 图 象在区 间 0，5内恰有 5 个不同的交点，在同一坐 标 系内作出它 们的 图 象如 图 ： 要使它 们 在区 间 0，5内恰有 5 个不同的交点，只需 Error!得 a ，故 选 C. 36.已知函数 f(x) Error!(a 0，且 a 1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 |f(x)| 2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. (0，23 23，34 13，23 34 13，23) 34答案 C 解析 由 题设 可得 Error!解 得 a .结 合
7、 图 象 (图 略 )可 知 方 程 在 ( ，0)和 (0， )上分13 34别 只有一个 实 数根 .当 3a 2，即 a 时 ，则 x2 (4a 3)x 3a 2 x 只有一个解， 则 (4a23 2)2 4(3a 2) 0，解得 a 或 a 1(舍去 )；当 1 3a 2，即 a 时 ，符合 题设 条件 .综34 13 23上，所求 实 数 a 的取 值 范 围 是 a 或 a .故 选 C. 13 23 347.(2017四川成都一模 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x 1) f(x 1)，当 x时， f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x) 在 上的所有
8、实数解之和为 ( ) 1，0 |cos x| 52，12A. 7 B. 6 C. 3 D. 1 答案 A 解析 因 为 函数是偶函数，所以 f( x 1) f(x 1) f(x 1)，所以函数是周期 为 2 的偶函数，画出函数 图 象如 图 ： 两个函数在区 间 上有 7 个交点，中 间 点是 x 1，其余 6 个交点关于 x 1 对 称，所 52，12以任一 组对 称点的横坐 标 之和 为 2，所以 这 7 个交点的横坐 标 之和 为 3( 2) 1 7，故选 A. 8.(2017湖南 长 沙一中月考 )已知实数 f(x) Error!若关于 x 的方程 f 2(x) f(x) t 0 有三
9、个不同的实根，则 t 的取值范围为 ( ) A.( ， 2 B.1， ) C. 2， 1 D.( ， 2 1， ) 答案 A 解析 设 m f(x)，作出函数 f(x)的 图 象，如 图 所示， 则 当 m 1 时 ，m f(x)有两个根，当 m0)， ln xx设 h(x) x2 2ex ，令 f1(x) x2 2ex，f2(x) ， f2 (x) ， ln xx ln xx 1 ln xx2发现 函数 f1(x)，f2(x)在 (0，e)上都 单调递 增，在 (e， )上都 单调递 减， 函数 h(x) x2 2ex 在 (0，e)上 单调递 增，在 (e， )上 单调递 减， 当 x e
10、 时 ，h(x)max e2 ， 函数有零ln xx 1e点需 满 足 m h(x)max，即 m e2 . 1e13.(2017 届柳州模 拟 )设定义域为 R 的函数 f(x) Error!若关于 x 的方程 f 2(x) (2m 1)f(x)m2 0 有 7 个不同的实数解，则 m _. 答案 2 解析 令 t f(x)，作出函数 f(x)的 图 象如 图 所示： 由 图 可知方程 t2 (2m 1)t m2 0 有两个不等 实 根，其中一根 为 4，另一根在 (0，4)上 .由 42 (2m 1)4 m2 0 m 2 或 m 6，又当 m 2 时 ，另一根 为 1，满 足 题 意；当
11、m 6 时 ，另一根 为 9，不 满 足 题 意，故 m 2. 14.(2017山西省 实验 中学模 拟 )已知函数 f(x) ex 2 x 3(e 为自然对数的底数 )， g(x) x2ax a 3.若存在实数 x1， x2，使得 f(x1) g(x2) 0，且 1，则实数 a 的取值范围是|x1 x2|_. 答案 2，3解析 函数 f(x) ex 2 x 3 的 导 数 为 f (x) ex 2 1 0，f(x)在 R 上 单调递 增， 由 f(2) 0，可得 f(x1) 0 的解 为 x1 2， 存在 实 数 x1，x2，使得 f(x1) g(x2) 0，且 |x1 x2| 1， 即 为 g(x2) 0 且 |2 x2| 1，即 x2 ax a 3 0 在 1，3上有解， 即有 a (x 1) 2 在 1，3上有解， x2 3x 1 4x 1令 t x 1(2 t 4)，由 t 2 在 2，4上 单调递 增， 4t可得最小 值为 2，最大 值为 3， 则 a 的取 值 范 围 是 2，3.
