1、1第 13 章 量 子 论 简 介13.1 基本要求1. 了解黑体辐射的实验规律。理解光电效应和康普顿效应的实验规律以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。2理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实。理解实物粒子的波粒二象性。3理解描述物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。4理解氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论。5理解波函数及其统计解释。理解一维坐标动量不确定关系。了解一维定态薛定谔方程。6理解一维无限深势阱中粒子的波函数及其能级公式。了解隧道效应。13.2 基本概念1 黑体2 黑体辐射3 单色辐出度 （13-1）()dMT4 辐出度 （13-0)
2、(2）5 普朗克能量子假设 （13-Eh3）6 截止频率 (红限) （13-0W4）27 康普顿波长 （13-0chm5）8 光的波粒二象性（13-6）,hEp9 波尔半径（13-7）201hrme10 能级（13-8）412208nEeEhn11 德布罗意物质波12 波函数 （13-9）2()0(,)iEtpxhxte13 隧道效应13.3 基本规律1 斯特藩玻耳兹曼定律 （13-10）40()()MTdT2 维恩位移定律（13-11）mb3 光电效应方程（13-12）21hvW4 康普顿效应方程3（13-200(1cos)sinhhm13）5 氢原子的玻尔理论（1）定态假设（2）频率假设
3、（13-14）ifhE（3）轨道角动量量子化假设 （13-2hLmvrn15）6 海森堡不确定关系 （13-xph16）7 定态薛定谔方程 （13-0)(8)(22 xEhmdxp17）13.4 学习指导1 重点解析（1） 普朗克能量子假设 普朗克为了解决黑体辐射理论解释与实验结果不一致的问题，大胆提出了两条与经典物理概念完全不同的新假设：黑体空腔内电子的振动可视为一维谐振子，这些谐振子辐射电磁波，并与周围的电磁场交换能量。空腔内谐振子吸收或发射能量不能连续变化，只能是基本能量 的整数倍。 ，式中 ，称为hnh1,23 346.210hJs普朗克常数。普朗克的能量子概念揭示了微观世界的本质，普
4、朗克常数也成为区分微观4世界与宏观世界的特征量。（2）爱因斯坦光量子假设 光电效应方程为了解决光电效应实验规律与经典物理理论的矛盾，1905 年爱因斯坦在普朗克能量子概念的基础上，对光的本性提出新的理论，即光子理论。光在空间传播时，具有粒子性，光束可以看成是由微粒构成的粒子流，这些粒子称为光量子，以后就称为光子。频率 的光子具有的能量为 。h爱因斯坦的光量子概念是普朗克能量子概念的推广和延伸，光在发射、吸收和传播的整个过程都具有量子化。根据爱因斯坦光子理论对光电效应的解释：当频率为 的光束照射到金属表面上，光子的能量被单个电子吸收，使电子的能量增加 ，如果入射光的频h率 足够高，可以使电子获取
5、足够的能量从金属表面逸出，其能量的一部分用于脱离金属表面时所需的逸出功 ，另一部分则成为电子离开金属表面后的最W大初动能。根据能量守恒定律，光电效应的爱因斯坦方程为 。21hmvW（3）康普顿效应1922 年康普顿受爱因斯坦光子理论成功解释光电效应的启发，提出按照光子理论，频率为 的 射线可看成是由一些能量为 的光子组成的，假设0x0h光子与受原子束缚较弱的电子或自由电子发生的碰撞可视为完全弹性碰撞。由此对康普顿效应的定性解释为入射光子与散射物质中的电子发生弹性碰撞，存在以下两种情况。(1) 当能量为 （ ）的入射光子与散射物质中束缚微弱的电子弹性碰撞时，0h将一部分能量传给电子，所以，散射光
6、子能量减少，散射光频率 小于入射光频率 ，散射光的波长 大于入射光波长 。005(2)光子与原子中束缚很紧的电子发生碰撞，近似与整个原子发生弹性碰撞时，能量不会显著减小，所以散射光束中出现与入射光波长相同的射线。根据能量守恒定律和动量守恒定律得到波长的变化量（13-18）200(1cos)sinhhm式中 为入射光波长， 为散射光的波长。上式给出了散射光波长的变化量0与散射角 之间的函数关系。当 时，波长不变； 增加时， 也随之增加。（4）氢原子的玻尔理论玻尔提出解释氢原子结构的三条假设： 定态假设 电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态(简称定态)，并
7、具有一定的能量，能量只能取不连续的值 。 123,E频率假设 当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，亦即电子从高能量的轨道跃迁到低能量 的轨道上时，要发射频率为 的光子，且 i fE（13-19） ifh式（13-19）称为频率条件。 轨道角动量量子化假设 电子以速度 在半径为 的圆周上绕核运动时，只有vr电子的角动量 等于 的整数倍的那些轨道才是稳定的，即 L2h（13-20）mvrn称为主量子数。式（13-20）称为量子化条件。1,23n玻尔提出的三条假设解决了氢原子结构的三个问题，假设（1）解决了氢原子结构的稳定性问题，只有假定电子在特定轨道上运动时不辐射能量，才能6保证氢原子的稳定；
8、假设（3）给出了电子绕原子核运动轨道的限制性条件，只有电子绕原子核运动的角动量满足 量子化条件才是许可的；2hLmvrn这是波尔在普朗克能量量子化基础上的进一步发展，提出了角动量量子化；假设（2）解释了氢原子光谱和发光机制，是对普朗克假设的引申。电子以原子核为中心作圆周运动的轨道半径 和能级2201nhrrnme以及氢原子光谱的波长412208nEmeEhn(,3)。42320(),iffinc可见利用玻尔理论可以对氢原子结构和光谱作出很好的解释，但是玻尔氢原子理论仍然存在一定的缺陷。（5）德布罗意物质波 波函数1924 年法国物理学家德布罗意在光的波粒二象性的启发下，根据自然界的对称性思想，
9、提出实物粒子，如电子、质子、中子等应该具有波动性。德布罗意假设实物粒子具有波动性，一个实物粒子的能量为 、动量大小为 ，跟EP它们对应的波的频率 和波长 的关系为， （13-21）2EmchPvh这种波称为德布罗意波，或物质波用 表示概率波的波函数，则 。根据波恩对德布罗2()0(,)iEtpxhxte意物质波的统计解释，对微观粒子来说，粒子分布多的地方，德布罗意波的强度大，而粒子在空间分布的数目与粒子在该处出现的概率成正比。因此某时刻出现在空间某处附近体积元 中的粒子的概率，与 成正比。由于 是dV2dV复数， ， 是 的共轭复数。 为粒子出现在某点附近单位体积2*27元中的概率，称为概率密
10、度。微观粒子某时刻在整个空间出现的概率应为 1，即 （13-22）21dV式（13-22）称为波函数的归一化条件。（6）薛定谔方程在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程（13-23）0)(8)(22 xEhmdxp式（13-23）中 只是 的函数，与时间无关。)在应用薛定谔方程解决具体问题时，要着重理清解题思路，理解边界条件的含义和使用归一化条件。2 难点释疑本章作为量子物理的基础，难点在于正确理解和掌握在微观领域经典物理的概念和方法已不再适用，必须建立全新的理论量子理论，并初步掌握运用量子理论处理微观物体运动的基本思想。解决这个难点的关键是要从整体上把握和认识量子理论提出的历史背景和形成的整个
11、过程，理解量子理论的提出是人们认识微观物体运动的规律的必然要求。微观物体运动的现象用经典理论得不到解释，物理学家不得不突破传统的理论框架，以假说的形式提出新的观点，对实验现象作出圆满地解释，从而建立新的理论即量子理论。13.5 习题解答 1 选择题13.1 当照射光的波长从 400nm 变到 300nm 时，对同金属在光电效应实验中测得的遏止8电压将( )(A) 减小 0.56V (B) 增大 0.165V(C) 减小 0.34V (D) 增大 1.035V(普朗克常量 ，基本电荷 )346.10hJs 19.602eC解：根据光电效应方程 ，由于照射光的波长变短，频率增大，则电子获得2mvW
12、的初动能增加，因此遏止电压将增大。利用光电效应方程得，222111()()hmveU将 代入c21348999()6.01().03504Ue V 计算得(D)。13.2 光电效应和康普顿效应都包含有电子和光子的相互作用过程。对此有以下几种理解，正确的是( )(A) 两种效应中，电子和光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律(B) 两种效应都相当于电子和光子的弹性碰撞过程(C) 两种效应都属于电子吸收光子的过程(D) 光电效应是电子吸收光子的过程，而康普顿效应相当于光子和电子的弹性碰撞过程解：光电效应是电子吸收光子的过程，电子和光子组成的系统动量不守恒；而康普顿效应则是光子和电子的弹性碰
13、撞过程，服从动量守恒定律和能量守恒定律，故选(D)。13.3 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2 倍，则散射光光子的能量9与反冲电子动能 之比 为( )EkEk(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 解：设入射光波长为 ，散射光波长 ，则 。根据能量子假设 ，121.cEh散射光光子的能量 ，康普顿效应的能量守恒，反冲电子动能 ，hcE 12k211.25()khcE计算得（A） 。13.4 关于不确定关系 ，有以下几种理解, 其中正确的是( )xph(A) 粒子的动量不能准确确定(B) 粒子的坐标不能准确确定(C) 粒子的动量和坐标不能同时准确确定(D) 不确定关
14、系仅适用于电子和光子等微观粒子，不适用于宏观粒子解：不确定关系 表明微观粒子的动量和坐标不能同时准确确定，选项（A） 、xph（B ） 、 （ C）都没有强调是针对微观粒子，故选（D） 。13.5 波长 的光沿 X 轴正向传播，若光的波长的不确定量 ，则利50nm 310nm用不确定关系式 可得光子的 X 坐标的不确定量至少为( )xph(A) 25cm (B) 50cm(C) 250cm (D) 500cm 解：根据动量与波长的关系 ，由波长的不确定量得到动量的不确定量，对 求hp hp一阶导数得 ，则 ，代入 ，2d2xph，计算得(A)。2712(50)xhmp1013.6 如果两种不同
15、质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( )(A) 动量相同 (B) 能量相同(C) 速度相同 (D) 动能相同解：根据动量与波长的关系 ，得(A)；因为两种粒子的质量不同，不考虑相对论效应，hp根据 ，两种粒子的速度不同，动能也不相同，能量也不相同。pmv13.7 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为 U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 ，则 U 约为( )2410n(A) 150V (B) 330V (C) 630V (D) 940V 解：根据动量与波长的关系 和 ，hp21mveU2234311912(6.0)9. ()40mvpUeeV计算得(D)。13.8 已知粒子在维
16、矩形无限深势阱中运动，其波函数为( )13()cos2xxaa那么粒子在 处出现的几率密度为( )56(A) 1(2 ) (B) 1(C) 1 (D) 1/ 2 a解：粒子波函数 模的平方 表示粒子在空间个点出现的概率密度。根据题意，()x2()x粒子在 的概率密度函数为 ，将 代入得(A)。a2213cosxa56a2 填空题13.9 天狼星辐射波谱的峰值波长为 0.29m ，若将它看成是黑体，则由维恩位移定律可以11估算出它的表面温度为 。(维恩位移定律常数 b2.89810 -3mK)39.10K解：根据维恩位移定律 ，mTb3362.8910.910mK13.10 当今世界能源短缺，淘
17、汰白炽灯使用 LED 灯是节约能源的重要举措之一。白炽灯是利用钨丝在高温下发光照明，一般情况下钨丝的温度为 ，其单色辐出度最20C大值所对应的波长 。61.2750解：根据维恩位移定律 ， mTb362.891.27510m mT13.11 波长为 300nm 的光照射在某金属表面时，光电子的最大动能为 4.010 19J，那么，此金属的遏止电势差 U0 ，截止频率 。3.5V1603.9Hz解：根据光电效应方程 和 ，计算21hmvW21emv0.5UV，计算902.6WJ60.z13.12 己知钾的逸出功为 2.0eV，如果用波长为 3.6010-7m 的光照射在钾上，则光电效应的遏止电压
18、的绝对值Ua_2.2_V _。从钾表面发射出电子的最大速度Vmax= 。 (1eV1.610 -19J，m e9.1110 -31kg)618.790ms解：根据光电效应方程 和 ，计算2hvW201eUv02.V计算 610.vs13.13 德布罗意假设是物质粒子具有波动性。德布罗意波的统计解释是_粒子波函数模的平方 表示粒子在空间个点出现的概率密度。 一电子经加速电压()x2()xU 加速后，其德布罗意波长 。hmeU解：根据 ， 计算得 。21emvp213.14 对于德布罗意波长相同的质子和 粒子，它们的动量之比 PpP _1：1_；12动能之比 EpE _4：1_(不考虑相对论效应)
19、。解：根据 ， ， 得到结果。hmv2v4pm13.15 若中子的德布罗意波长为 2nm，则它的动能为 。( 普朗克常量23.8610Jh6.6310 -34js，中子的质量 m1.6710 -27kg)解：根据 ，hpv2231.8610pEvJ13.16 弗兰克-赫兹实验证实了原子存在_能级_，证实光子是粒子，而且证实在微观粒子相互作用过程中，遵守能量守恒定律和动量守恒定律的实验现象是_康普顿效应_。13.17 氢原子中电子从 n3 的激发态被电离出去，需要的能量为_1.51_eV。解：根据能级公式 12.61.59EeV13.18 己知基态氢原子的能量为13.6eV ，当基态氢原子被 1
20、2.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加到玻尔半径的_9_倍。解：根据能级和半径公式 ,1023.6.59EEeVn21nr13.19 要使处于基态的氢原子受激发后能辐射氢原子光谱中波长最短的光谱线，最少需向氢原子提供_13.6_eV 的能量。解：根据 , 要使波长最短，就要能量差最大。ifchEh3 计算题13.20 热核爆炸中火球的瞬时温度高达 ，试估算辐射最强的波长和单位面积辐射的功710K率。解：根据维恩位移定律 ，mTb31072.89102.89()m根据斯特藩玻耳兹曼定律，单位面积辐射的功率为1348742025.610()5.61()MTWm 13.21 假定太阳和地
21、球都可以看作黑体，如太阳表面的温度为 6000K，已知太阳的半径为，太阳到地球的距离为 ，假设地球表面的温度相同，求56.910km8.490k地球表面的温度。解：设地球表面的温度为 ，根据斯特藩玻耳兹曼定律，太阳单位面积单位时间辐射T的能量为 ，太阳辐射的总功率为 ；地球表面吸收的总4M42PMSTr功率 ，把地球看作黑体，单位时间吸收能量和辐射422Prrdd能量相等，可得 ， 24PMr 289.4()rTKd13.22 钾的截止频率为 ，用波长为 的光照射，求钾放出电子的初速14.60Hz30nm度。解：根据光电效应方程 ，2hmvW入射光的频率81493106.70()4cHz电子的
22、初速度 20vh3414410 31()6.(6.97.2)05.86()hv msm 13.23 钨的逸出功为 ，钡的逸出功为 ，计算钨和钡的截止频率。哪种金属4.52eV.50eV可以作为可见光范围内的光电管阴极材料？解：根据光电效应方程 ，21hvW0h钨的截止频率 1914034.56.82()6Hz14钡的截止频率19140342.50.70()6WHzh钨可以作为可见光范围内的光电管阴极材料。13.24 波长 的 射线与碳块上的电子发生弹性碰撞，康普顿散射角 ，0.1nmx 90求散射的 射线的波长和反冲电子的动能。x解：（1）由康普顿散射公式（13-15b） ，散射波长的改变量2
23、2sin0.43sin50.43()c nm散射的 射线的波长 x1.1()（2）反冲电子的动能 34810 1506.10()3.270()4khcE J 13.25 已知 射线光子的能量为 ，在康普顿散射后波长改变了 ，求反冲电x.62MeV%子获得的能量和动量大小。解：根据 射线光子的能量公式 x0hcE348120619.2.40()1.hc mE12000.,.5反冲电子的动能 34812 140 16.100().650().4.0khcE J 反冲电子的动量 3412 2310 16.0()5.0().04.hp kgms 13.26 处于基态的氢原子吸收了能量为 的光子。.75
24、eV15（1）求氢原子吸收光子后将跃迁到哪个能级？（2）受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出几条谱线？计算每条谱线的波长。解：设氢原子完全吸收了电子的动能，由基态激发到第 n 个能级，则13.62750.8()nEeV由氢原子能级公式（13-24）1.4085nE该氢原子最高能被激发到 n=4 的激发态。处于激发态的氢原子不稳定，在向低能级态跃迁时可产生 6 条谱线，由式（13-26）得当 n 从 时 ，3112()3R102.6()nm当 n 从 时 ，222()257.1()当 n 从 时 ，1321()R3.6()nm当 n 从 时 ，442()4197.2()当 n 从 时 ，2521
25、()R586.()nm当 n 从 时 ，4362()34617.3()13.27 (1)在氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为 434 nm，该谱线是氢原子由能级 跃迁到能级 产生的，问 和 各为多少？iEfif(2) 处于最高能级为 的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条光谱线？请在4氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线。解：（1）氢原子光谱的巴耳末线系为各激发态向能级 n=2 跃迁产生的光谱，根据题意16解得 ，该谱线是氢原子由能级 跃7110.23()m21()Rn55E迁到能级 产生的， ， 。 E5if(2) 处于最高能级为 的大量氢原子，最多可以发射 3
26、 个线系，共 6 条光谱线。波长4最短的是 谱线。113.28 当电子的德布罗意波长等于康普顿波长时，求（1）电子的动量；（2）电子的速率与光速的比值。解：康普顿波长 电子的动量0.243,cnm923116.1.70().chp kgms 13.29 试计算 的热中子的德布罗意波长（以方均根速率计算） 。30TK解：根据方均根速率 232 3171.80.860()6kTv sm3410276.0.9()1.h mpm13.30 证明：自由粒子的不确定关系可写成 ， 是自由粒子的德布罗意波长。2x证明：由 得 ，h2d2hp根据不确定关系式 ，x2xp证毕13.31 粒子被限制在相距为 的两
27、个不可穿透的壁之间，如图所示，描写粒子状态的波函l数为 ，其中 C 为待定常数。求在 到 的区间内，发()sinxl 4lx3l现该粒子的概率。17习题 13.31 图解：粒子波函数 模的平方 表示粒子在空间个点出现的概率密度。根据题意，()x2()x粒子在 的概率密度函数为 ，根据归一化条件0l2sinxCl，解得20sin1lxCdll在 到 的区间内，发现该粒子的概率43324 1sin()2lxdll13.32 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为 2()sin()nxxa(0)xa若粒子处于 的状态，在 0 区间发现该粒子的几率是多少？1na41提示： sin2x dx sin2x C解：粒子波函数 模的平方 表示粒子在空间个点出现的概率密度。根据题意，()2()粒子在 的概率密度函数为 ，根据归一化条件0xa22sinxxa在 到 的区间内，发现该粒子的概率4240 1sin()8axda
