1、2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第 2 课时 对数函数及其性质的应用三维目标1知识与技能(1)掌握对数函数的单调性；(2)会进行同底数对数和不同底数对数的大小比较；(3)了解反函数的概念，加深对函数思想的理解2过程与方法(1)通过师生互动使学生掌握比较同底数对数大小的方法；(2)培养学生的数学应用意识；(3)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想3情感、态度与价值观(1)用联系的观点分析、解决问题；(2)认识事物之间的相互转化；(3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力重点难点重点：对数式的大小比较及对数函数性质的应用难点
2、：不同底数的对数式比较大小及指数函数与对数函数间的关系重难点的突破：以对数函数的图象为切入点，在引导学生回忆对数函数图象的同时，运用数形结合的思想完成同底数的对数式的大小比较，体会对数函数单调性的应用，通过类比幂的大小比较，启发引导学生完成不同底数的对数式大小比较问题对于指数函数与对数函数间的关系，可引导学生分组协作，借助于计算器在同一直角坐标系中画出 y2 x与 ylog 2x，y x与 ylog x 两组函数的图象，观察各(12) 12组函数的图象，探求他们之间的关系然后引导类比、联想，并探究当 a0，a1时，函数 ya x与 y logax 的图象之间的关系课标解读1.理解并掌握对数函数
3、的单调性(重点)2了解指数函数 y ax(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且a1)互为反函数( 难点)反函数【问题导思】 函数 ylog 2x 与 y2 x的定义域和值域之间有什么关系？其图象之间是什么关系？【提示】 函数 ylog 2x 与 y2 x的定义域和值域之间是互换的，两者的图象关于直线 y x 对称对数函数 ylog ax(a 0 且 a1)和指数函数 ya x(a0 且 a1)互为反函数.对数值的大小比较比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2 ；(2)loga3.1， loga5.2(a0，且 a1)；(3)log30.2， log40.2；(4)
4、log3，log 3.【思路探究】 (1)构造对数函数 ylnx，利用函数的单调性判断；(2)需对底数a 分类讨论；(3)由于两个对数的底数不同，故不能直接比较大小，可对这两个对数分别取倒数，再根据对数函数的单调性比较大小；(4)构造对数函数，并借助中间量判断【自主解答】 (1)因为函数 ylnx 是增函数，且 0.31 时，函数 y logax 在(0，)上是增函数，又 3.1loga5.2.(3)法一 因为 0log0.23log0.24，所以 log30.2.(4)因为函数 ylog 3x 是增函数，且 3，所以 log3log331.同理，1log log3，所以 log3log3.比
5、较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性1若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较2若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论3若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较4若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较若 alog 0.20.3，blog 26，clog 0.24，则 a，b，c 的大小关系为_【解析】 因为 f(x) log0.2x 为减函数，且 0.2log0.20.3log0.21log0.24，即 1a0c.同理 log26log221，可知
6、结果【答案】 b ac解对数不等式(1)解不等式 log2(x1)log 2(1x )；(2)若 loga 1，求实数 a 的取值范围23【思路探究】 (1)利用 ylog 2x 为增函数求 x 的范围；(2)按 a1 及 0a1 分类讨论，解不等式【自主解答】 (1)依题意得Error!Error!0x1，所以 log2(x1)log 2(1x)的解集为x |0 x1(2)不等式 loga 1 可化为 loga log aa.23 23当 a1 时，ylog ax 单调递增，故Error!解得 a1；当 0a1 时，y logax 单调递减，故Error!解得 0a .23综上可知，实数 a
7、 的取值范围是 (1，) (0，23)1当底数取值范围不确定时，通常需要对底数按 a1 及 0a1 进行分类讨论2与对数有关的不等式的两种类型及转化方法(1)当 a1 时，log af(x)blog aabf(x )ab；log af(x)logag(x)Error!(2)当 0blog aabError!log af(x)logag(x)Error!函数 y 的定义域为_log0.54x 3【解析】 要使函数式有意义，则Error!即Error!解得 0，a1，m 1)是奇函数1 mxx 1(1)求实数 m 的值；(2)探究函数 f(x)在(1，)上的单调性【思路探究】 fx是 奇 函 数
8、定 义 f x fx 求 m的 值用 定 义 证 明 fx的 单 调 性【自主解答】 (1)由已知条件得 f(x )f(x )0 对定义域中的 x 均成立loga log a 0，即 1，mx 1 x 1 1 mxx 1 mx 1 x 11 mxx 1m2x21x 21 对定义域中的 x 均成立m21，即 m1(舍去)或 m1.(2)由(1)得 f(x)log a .设 t 1 ，1 xx 1 x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1当 x1x21 时，t 1t 2 1 时， logat11 时，f(x)在(1 ，)上是减函数同理当 01 和00，且 a1)在2,4上的最大值与最小值的差是 1
9、，求a 的值【错解】 因为函数 ylog ax(a0，且 a1)在2,4上的最大值是 loga4，最小值是 loga2，所以 loga4log a21，即 loga 1，所以 a2.42【错因分析】 错解中误以为函数 ylog ax(a0，且 a1)在2,4上是增函数【防范措施】 1.在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑 a1 与 00，且 a1)单调性的影响就会出现漏解或错解【正解】 (1)当 a1 时，函数 ylog ax 在2,4上是增函数，所以 loga4log a21，即 loga 1，所以 a2.42(2)当 01 和 0” 或“b.【答案】 3
10、若 f(x)log ax(a0，且 a1)，且满足 f(2)f (3)，则 a_1(填“”或“”) 【解析】 f(x)log ax(a0，且 a1)，f(x) 为对数函数且是单调函数，又 f(2)f(3)，且 23 ，f(x)为增函数， a1.【答案】 4(1) 已知 loga 1，求 a 的取值范围12(2)已知 log0.72x1 得 loga logaa.12 12当 a1 时，有 a1.即 x 的取值范围是 (1，).一、选择题1函数 y lnx 的单调递增区间是( )Ae，) B(0，)C (，) D1 ，)【解析】 函数 ylnx 的定义域为(0， )，其在(0，) 上是增函数，故
11、该函数的单调递增区间为(0，)【答案】 B2已知函数 f(x)与函数 g(x)e x互为反函数，则( )Af(x)lgx(xR) Bf (x)lgx( x0)C f(x)lnx (xR) Df(x )lnx(x 0)【解析】 g(x)e x的反函数为 ylnx( x 0)，只有 D 正确【答案】 D3(2014新乡高一检测) 若 log2a1，则( )(12)A01，b0 Da1 ，b0【解析】 由 log2a1 0 所以 bbc BacbC bac Dc ab【解析】 因为 alog 23.61,0clog 43.6blog 43.2，所以选 B.【答案】 B5(2013辽宁高考 )已知集合
12、 Ax|0log 4x1，Bx|x2，则 AB( )A(0,1) B(0,2C (1,2) D(1,2【解析】 因为 Ax |01 ，又 ylgx 在(0，)上为增函数，lg(3x1)lg10，函数 ylg(3 x1)的值域为(0，) 【答案】 (0，)8设 a1，函数 f(x)log ax 在区间a,2 a上的最大值与最小值之差为 ，则12a_.【解析】 a1， f(x)log ax 在 a,2a上递增，log a(2a)log aa ，12即 loga2 ，a 2，a4.12 12【答案】 4三、解答题9画出函数 y|log 2(x1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间【解】 函数图象如
13、图所示由图象知，其值域为0，)，单调减区间是(1,0，单调增区间是(0，) 10(2014 许昌高一检测) 解不等式 2loga(x4)log a(x2)【解】 原不等式等价于Error!(1)当 a1 时，原不等式又等价于Error!解得 x6.(2)当 01 时，原不等式的解集为x|x6 当 0a1 时，原不等式的解集为x|4x 611已知 f(x)log 2(1 x) .log21 x(1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性；(3)求 f 的值(22)【解】 (1)因为Error!所以Error!得1x1.所以函数 f(x)的定义域为 (1,1)(2)函数 f(x)的定义域为(1,1)，当 x(1,1)时，x (1,1)，因为 f(x)log 2(1(x) log 2(1(x)log 2(1x)log 2(1x )f(x) ，所以函数 f(x)log 2(1 x)log 2(1x )是偶函数(3)因为 f log 2 log 2 log 2(22) (1 22) (1 22) (1 22)(1 22)log 2 log 2 1.(1 12) 1
